الضرب القياسي والزاوية
الفكرة ببساطة
الضرب القياسي يقيس التعامد ويعطي الزاوية بين متجهين.
القانون ومعناه
أ·ب=|أ||ب|جتا θ؛ والتعامد يعني أ·ب=0.
طريقة الحل
- اقرأ المطلوب وحدد المعطيات ووحداتها.
- اختر القانون الذي يربط المطلوب بالمعطيات.
- نفّذ الجبر خطوة خطوة، ولا تقفز إلى الناتج.
- راجع الإشارة والوحدة ومنطق القيمة.
مثال محلول
السؤال: هل المتجهان (1،2،0)،(2،−1،0) متعامدان؟
الحل: نطبق قاعدة الدرس: أ·ب=|أ||ب|جتا θ؛ والتعامد يعني أ·ب=0. ثم نبسط، فنحصل على نعم.
خطأ شائع
التعويض قبل تحديد القانون، أو إهمال الإشارة والوحدة. اكتب العلاقة أولًا ثم عوّض.
تدريب رياضي — 12 مسألة حقيقية
حل كل مسألة على ورق أولًا، ثم افتح الإجابة المشروحة.
مسألة 1: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (1, 2, 0) و(2, -1, 0).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 0.
مسألة 2: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (1, 0, 1) و(1, 0, -1).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 0.
مسألة 3: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (2, 3, 1) و(1, 1, 1).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 6.
مسألة 4: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (3, 2, 0) و(2, -3, 0).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 0.
مسألة 5: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (1, 2, 3) و(3, 2, 1).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 10.
مسألة 6: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (4, 0, 0) و(2, 1, 0).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 8.
مسألة 7: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (2, 2, 2) و(1, -1, 0).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 0.
مسألة 8: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (5, 1, 0) و(1, 5, 0).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 10.
مسألة 9: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (3, 4, 0) و(4, -3, 0).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 0.
مسألة 10: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (1, 1, 1) و(2, 2, 2).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 6.
مسألة 11: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (6, 2, 1) و(1, 0, 2).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 8.
مسألة 12: أوجد الضرب القياسي للمتجهين (2, 5, 3) و(3, 1, 2).
شوف إجابتك صح ولا لأ
نجمع حواصل ضرب المركبات المناظرة فنحصل على 17.