معدلات التغير المرتبطة
الفكرة ببساطة
نربط الكميات بمعادلة ثم نشتق بالنسبة إلى الزمن قبل التعويض.
القانون ومعناه
لا تعوّض القيم الثابتة قبل الاشتقاق الزمني.
طريقة الحل
- اقرأ المطلوب وحدد المعطيات ووحداتها.
- اختر القانون الذي يربط المطلوب بالمعطيات.
- نفّذ الجبر خطوة خطوة، ولا تقفز إلى الناتج.
- راجع الإشارة والوحدة ومنطق القيمة.
مثال محلول
السؤال: دائرة نصف قطرها يزيد 2 سم/ث؛ أوجد معدل تغير المساحة عند نق=3.
الحل: نطبق قاعدة الدرس: لا تعوّض القيم الثابتة قبل الاشتقاق الزمني. ثم نبسط، فنحصل على 12π سم²/ث.
خطأ شائع
التعويض قبل تحديد القانون، أو إهمال الإشارة والوحدة. اكتب العلاقة أولًا ثم عوّض.
تدريب رياضي — 12 مسألة حقيقية
حل كل مسألة على ورق أولًا، ثم افتح الإجابة المشروحة.
مسألة 1: دائرة نصف قطرها 1 سم ويزداد بمعدل 2 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=4π.
مسألة 2: دائرة نصف قطرها 2 سم ويزداد بمعدل 3 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=12π.
مسألة 3: دائرة نصف قطرها 3 سم ويزداد بمعدل 2 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=12π.
مسألة 4: دائرة نصف قطرها 4 سم ويزداد بمعدل 1 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=8π.
مسألة 5: دائرة نصف قطرها 5 سم ويزداد بمعدل 2 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=20π.
مسألة 6: دائرة نصف قطرها 6 سم ويزداد بمعدل 3 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=36π.
مسألة 7: دائرة نصف قطرها 7 سم ويزداد بمعدل 1 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=14π.
مسألة 8: دائرة نصف قطرها 8 سم ويزداد بمعدل 2 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=32π.
مسألة 9: دائرة نصف قطرها 9 سم ويزداد بمعدل 1 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=18π.
مسألة 10: دائرة نصف قطرها 10 سم ويزداد بمعدل 3 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=60π.
مسألة 11: دائرة نصف قطرها 12 سم ويزداد بمعدل 2 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=48π.
مسألة 12: دائرة نصف قطرها 15 سم ويزداد بمعدل 1 سم/ث؛ أوجد معدل تغير مساحتها.
شوف إجابتك صح ولا لأ
د م/دز=2π نق × د نق/دز=30π.