λ=h/(mv)=6.626×10⁻³⁴/(9.11×10⁻³¹×10⁶)=6.626×10⁻³⁴/9.11×10⁻²⁵=7.27×10⁻¹⁰ م≈0.727 نانومتر.

λ=h/(mv)=6.626×10⁻³⁴/1=6.626×10⁻³⁴ م. لا نلاحظه لأنه أصغر بكثير من أي حجم ذري (~10⁻¹⁰م). الطبيعة الموجية ذات أثر عملي فقط للجسيمات دون الذرية.

KE=eV=1.6×10⁻¹⁷ J. v=√(2KE/m)=√(2×1.6×10⁻¹⁷/9.11×10⁻³¹)=√(3.51×10¹³)=5.93×10⁶ م/ث. λ=h/(mv)=6.626×10⁻³⁴/(9.11×10⁻³¹×5.93×10⁶)=1.23×10⁻¹⁰م≈0.123 nm.

تجربة دافيسون وجيرمر (1927): أطلقا إلكترونات على بلورة نيكل فظهر نمط حيود (مثل الأشعة السينية) مطابق للتنبؤات من علاقة دي بروي. هذا أثبت أن الإلكترونات تتصرف كموجات.

Δx·Δp ≥ ħ/2. لا يمكن قياس موضع الجسيم وكميته التحرك معًا بدقة غير محدودة. هذا ليس محدودية في الأجهزة بل حقيقة أساسية في الطبيعة: فعل القياس يُغيّر الجسيم. الفلسفة: الجسيمات لا تمتلك خصائص محددة قبل القياس.

Δx≥ħ/(2Δp)=1.055×10⁻³⁴/(2×10⁻²⁴)=5.28×10⁻¹¹ م≈0.053 نانومتر.

الإلكترونات المتسارعة لها أطوال موجية أصغر بكثير من الضوء المرئي. الميكروسكوب يُفرّق بين تفاصيل مشابهة لطوله الموجي فقط. الإلكترون على 100kV: λ≈0.004nm مقارنة بـ400-700nm للضوء.

لا. الموجة في ميكانيكا الكم هي الدالة الموجية ψ التي يمثل مربعها |ψ|² كثافة احتمال وجود الجسيم في مكان ما. ليست موجة مادة تتموج في وسط بل موجة احتمالية.

Δx~10⁻¹⁵م→Δp≥ħ/(2Δx)=1.055×10⁻³⁴/(2×10⁻¹⁵)≈5.3×10⁻²⁰ كجم·م/ث. KE_min=(Δp)²/(2m)≈1.5×10⁻⁹ J≈10⁹ eV. هذه الطاقة هائلة لا تمتلكها الإلكترونات الذرية. لذا لا يمكن حبس الإلكترون في النواة.

طاقة الفوتون: E=hc/λ=6.626×10⁻³⁴×3×10⁸/10⁻¹⁰=1.99×10⁻¹⁵ J≈12.4 keV. الإلكترون: p=h/λ=6.626×10⁻³⁴/10⁻¹⁰=6.626×10⁻²⁴. KE=p²/(2m)=(6.626×10⁻²⁴)²/(2×9.11×10⁻³¹)=2.41×10⁻¹⁷ J≈150 eV. الفوتون أكثر طاقةً للنفس الطول الموجي.

المستويات الطاقية المسموحة هي تلك التي يتلاءم فيها الطول الموجي للإلكترون مع محيط المدار: 2πr = nλ = nh/(mv). هذا يُفسّر تحديد المستويات: الإلكترون موجة دائمة (resonant standing wave) في مدار محدد.

موجات الماء: ظاهرة جماعية لملايين الجزيئات تتحرك في وسط مادي. الموجة الكمية: خاصية لجسيم منفرد، وهي موجة احتمالية ليست في وسط مادي. كل جسيم منفرد يتداخل مع نفسه ويُعطي نمط حيود (تجربة الإلكترون الواحد).