الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على تحليل متجهات السرعة وإيجاد المحصلة، وحساب السرعة النسبية بين جسمين متحركين في خطوط مستقيمة أو متعامدة.
شرح الدرس
السرعة كمتجه: للسرعة مقدار واتجاه. عند جمع متجهين للسرعة نستخدم التحليل إلى مركبتين أفقية (x) ورأسية (y)، ثم نجد المحصلة بقانون فيثاغورس: v = √(vₓ² + vᵧ²)، واتجاهها: θ = tan⁻¹(vᵧ/vₓ).
السرعة النسبية: إذا تحرك جسم A بسرعة vₐ وجسم B بسرعة v_b (كلاهما نسبة لمرجع ثابت)، فسرعة A نسبة لـ B هي: v_{A/B} = vₐ − v_b (ناقص بالمتجهات).
حالات شائعة:
- في نفس الاتجاه: v_{نسبية} = v₁ − v₂
- في اتجاهين متعاكسين: v_{نسبية} = v₁ + v₂
- في اتجاهين متعامدين: v_{نسبية} = √(v₁² + v₂²)
مثال: قارب سرعته 4 م/ث عموديًا على نهر تسرعه 3 م/ث أفقيًا — سرعة القارب الفعلية = √(4²+3²) = 5 م/ث.
أسئلة تدريبية
1. جسم سرعته الأفقية 6 م/ث وسرعته الرأسية 8 م/ث. احسب مقدار سرعته المحصلة واتجاهها.
عرض الإجابة
السرعة المحصلة = √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 م/ث. الاتجاه: θ = tan⁻¹(8/6) = tan⁻¹(1.33) ≈ 53.1° مع الأفق.
2. قطار يتحرك شرقًا بسرعة 30 م/ث. قطار آخر يتحرك شرقًا أيضًا بسرعة 20 م/ث. ما سرعة القطار الأول نسبة للثاني؟
عرض الإجابة
كلا القطارين في نفس الاتجاه، فالسرعة النسبية = 30 − 20 = 10 م/ث شرقًا.
3. سيارتان تتحركان في اتجاهين متعاكسين، الأولى بسرعة 25 م/ث والثانية بسرعة 15 م/ث. ما سرعة الأولى نسبة للثانية؟
عرض الإجابة
الاتجاهان متعاكسان فالسرعة النسبية = 25 + 15 = 40 م/ث.
4. طائرة سرعتها 200 م/ث شمالًا، وريح سرعتها 150 م/ث شرقًا. احسب سرعة الطائرة الفعلية نسبة للأرض.
عرض الإجابة
v = √(200²+150²) = √(40000+22500) = √62500 = 250 م/ث. الاتجاه: θ = tan⁻¹(150/200) = 36.87° شرق الشمال.
5. قارب سرعته 5 م/ث عموديًا على نهر، وسرعة الماء 12 م/ث موازية للضفة. ما سرعة القارب الفعلية؟ وما الاتجاه الذي يتجه إليه فعلًا؟
عرض الإجابة
v = √(5²+12²) = √(25+144) = √169 = 13 م/ث. الاتجاه: θ = tan⁻¹(12/5) = 67.4° مع العمود على الضفة.
6. سرعة جسم في المحور x هي vₓ = 9 م/ث وفي المحور y هي vᵧ = 12 م/ث. احسب السرعة المحصلة وزاوية ميلها مع المحور x.
عرض الإجابة
v = √(9²+12²) = √(81+144) = √225 = 15 م/ث. θ = tan⁻¹(12/9) = tan⁻¹(1.33) ≈ 53.1° مع المحور x.
7. راكب في قطار يتحرك شرقًا بسرعة 40 م/ث يلقي كرة بسرعة 10 م/ث غربًا (نسبة للقطار). ما سرعة الكرة نسبة للأرض؟
عرض الإجابة
سرعة الكرة نسبة للأرض = 40 − 10 = 30 م/ث شرقًا.
8. جسمان يتحركان بزاوية قائمة بينهما، الأول بسرعة 7 م/ث والثاني بسرعة 24 م/ث. ما سرعة الأول نسبة للثاني؟
عرض الإجابة
v_{نسبية} = √(7²+24²) = √(49+576) = √625 = 25 م/ث.
9. ما الفرق بين السرعة المتجهة والسرعة النسبية؟ ومتى تساوي السرعة النسبية السرعة الفعلية؟
عرض الإجابة
السرعة المتجهة مقدار واتجاه حركة الجسم نسبة لمرجع ثابت. السرعة النسبية هي السرعة التي يراها مراقب متحرك مع جسم آخر. تساوي السرعة النسبية السرعة الفعلية عندما يكون الجسم المرجعي (المراقب) ثابتًا تمامًا نسبة للأرض.
10. قارب يريد العبور عموديًا لنهر عرضه 120 م، وسرعة القارب في الماء الساكن 4 م/ث، وسرعة التيار 3 م/ث. بأي زاوية يجب أن يوجه القارب ليعبر بشكل مستقيم؟
عرض الإجابة
لتعويض تيار 3 م/ث بسرعة قارب 4 م/ث: sin θ = 3/4، إذن θ = 48.6° مع العمود على الضفة (عكس اتجاه التيار). السرعة الفعلية عبر النهر = √(4²−3²) = √7 ≈ 2.65 م/ث.
11. طائرة سرعتها 300 م/ث شمالًا في غياب الريح. هبّت ريح بسرعة 40 م/ث شرقًا. ما انحراف الطائرة عن مسارها الأصلي بعد 10 ث؟
عرض الإجابة
في 10 ث: الإزاحة شمالًا = 300×10 = 3000 م. الإزاحة شرقًا بسبب الريح = 40×10 = 400 م. الانحراف الزاوي = tan⁻¹(400/3000) = tan⁻¹(0.133) ≈ 7.6° شرقًا.
12. جسم مركبتا سرعته vₓ = 5 م/ث وvᵧ = 5 م/ث. ما اتجاه سرعته المحصلة مع المحور الأفقي؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
θ = tan⁻¹(vᵧ/vₓ) = tan⁻¹(5/5) = tan⁻¹(1) = 45°. السبب: تساوي المركبتين يعني أن المحصلة تنصف الزاوية القائمة بينهما تمامًا.