الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على تطبيق شروط الاتزان الاستاتيكي للجسم الصلب، وحساب قوى الاتزان في أنظمة متعددة القوى.
شرح الدرس
شروط الاتزان الاستاتيكي:
1) شرط الإزاحة: مجموع القوى = صفر → Σ Fₓ = 0 و Σ Fᵧ = 0
2) شرط الدوران: مجموع العزوم = صفر → Σ τ = 0
القوى المتوازية: ثلاث قوى متوازية تحقق الاتزان إذا كانت المحصلة صفرًا وعزوم محصلتها حول أي نقطة صفرًا.
قاعدة المثلث والمضلع: لثلاث قوى متوازنة، تكوّن مثلثًا مغلقًا عند رسم المتجهات طرفًا لطرف. يمكن تطبيق قانون الجيب: F₁/sinα₁ = F₂/sinα₂ = F₃/sinα₃
ميزان القسط (الروافع): يتحقق الاتزان عندما: F₁·d₁ = F₂·d₂ (مبدأ العزوم).
أسئلة تدريبية
1. جسم معلق بحبلين، أحدهما أفقي بشد T₁ والآخر يميل بزاوية 53° مع الأفق. وزن الجسم 40 ن. احسب T₁ وT₂. (sin53°=0.8، cos53°=0.6)
عرض الإجابة
رأسيًا: T₂·sin53° = 40 ← T₂×0.8 = 40 ← T₂ = 50 ن. أفقيًا: T₁ = T₂·cos53° = 50×0.6 = 30 ن.
2. جسم وزنه 100 ن يتوازن على منحدر زاوية ميله 37° بقوة أفقية F وقوة عمودية على المنحدر N. احسب F وN. (sin37°=0.6، cos37°=0.8)
عرض الإجابة
موازيًا للمنحدر: F·cos37° = W·sin37° ← F×0.8 = 100×0.6 ← F = 75 ن. عموديًا: N = W·cos37° + F·sin37° = 100×0.8 + 75×0.6 = 80+45 = 125 ن.
3. قضيب وزنه 60 ن وطوله 3 م مثبت من طرفه الأيسر. في أي نقطة يجب تطبيق قوة رأسية لأعلى F لتحقيق الاتزان؟ احسب F إذا كان موضعها 2 م من اليسار.
عرض الإجابة
بمبدأ العزوم حول نقطة التثبيت: F×2 = 60×1.5 (مركز ثقل) ← F = 90/2 = 45 ن.
4. ثلاث قوى تؤثر على جسم: F₁ = 10 ن شرقًا، F₂ = 10 ن غربًا، F₃ = 15 ن شمالًا. هل الجسم في اتزان؟ فسّر.
عرض الإجابة
أفقيًا: Σ Fₓ = 10−10 = 0 ✓. رأسيًا: Σ Fᵧ = 15 ≠ 0 ✗. الجسم ليس في اتزان، يوجد محصلة رأسية 15 ن شمالًا.
5. لوح طوله 4 م ووزنه 200 ن مسنود عند طرفيه بقوتين R₁ وR₂. حمل 300 ن يُوضع على بعد 1 م من الطرف الأيسر. احسب R₁ وR₂.
عرض الإجابة
بمبدأ العزوم حول اليسار: R₂×4 = 200×2 + 300×1 ← R₂ = (400+300)/4 = 175 ن. R₁ = 500−175 = 325 ن.
6. جسم وزنه 50 ن معلق في منتصف حبل طوله 4 م وطرفاه مثبتان في نفس المستوى الأفقي. إذا انحنى الحبل بحيث صنع كل نصف زاوية 30° مع الأفق، احسب شد كل نصف. (sin30°=0.5)
عرض الإجابة
رأسيًا: 2T·sin30° = 50 ← 2T×0.5 = 50 ← T = 50 ن.
7. ما الشرط الضروري والكافي لاتزان جسم تحت تأثير قوتين فقط؟
عرض الإجابة
يجب أن تكونا: (1) متساويتين في المقدار، (2) متعاكستين في الاتجاه، (3) في نفس خط العمل. أي شرط من الثلاثة مفقود يُفقد الاتزان.
8. كرسي وزنه 300 ن يقف شخصان يحملانه، أحدهما من الأمام والآخر من الخلف. الشخص الأمامي يشد على بعد 0.5 م من مركز الثقل والخلفي على بعد 1 م. احسب قوة كل منهما.
عرض الإجابة
بمبدأ العزوم حول الشخص الأمامي: F_خلف×1.5 = 300×1 ← F_خلف = 200 ن. F_أمام = 300−200 = 100 ن.
9. جسم في اتزان تحت تأثير ثلاث قوى. إذا كانت قوتان عموديتان 40 ن لأعلى و70 ن لأسفل، ما القوة الثالثة لتحقيق الاتزان؟
عرض الإجابة
Σ Fᵧ = 0 ← 40−70+F₃ = 0 ← F₃ = 30 ن لأعلى.
10. سلم طوله 5 م ووزنه 200 ن مستند على حائط أملس رأسيًا وأرضية خشنة. زاوية ميله 60° مع الأرض. رجل وزنه 600 ن يقف في المنتصف. احسب قوة رد الحائط. (sin60°=0.866، cos60°=0.5)
عرض الإجابة
بمبدأ العزوم حول قدم السلم: N_حائط×5·sin60° = 200×2.5·cos60° + 600×2.5·cos60°. N×4.33 = 200×1.25 + 600×1.25 = 250+750 = 1000. N = 1000/4.33 ≈ 231 ن.
11. رافعة (وزنها مهمل) محورها عند نقطة تقع على بعد x من طرفها الأيسر. قوة 120 ن عند الطرف الأيسر وقوة 80 ن على بعد 4 م من المحور يمينًا. الطول الكلي 6 م. إذا كانت في اتزان، احسب x.
عرض الإجابة
120·x = 80×4 ← x = 320/120 = 8/3 ≈ 2.67 م من الطرف الأيسر.
12. جسم وزنه W معلق بثلاثة حبال: أفقي شده T₁، رأسي شده T₂، ومائل بزاوية 45° شده T₃. اكتب معادلتي الاتزان. (sin45°=cos45°=0.707)
عرض الإجابة
أفقيًا: T₁ = T₃·cos45° = 0.707T₃. رأسيًا: T₂ + T₃·sin45° = W ← T₂ + 0.707T₃ = W.