الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على صياغة قوانين كبلر الثلاثة، وتطبيق قانون الجاذبية الكونية لحساب قوى الجذب والمدارات.
شرح الدرس
قانون الجاذبية الكونية (نيوتن):
F = G·m₁·m₂/r²- G = 6.67×10⁻¹¹ ن·م²/كجم² (ثابت الجاذبية الكوني)
- r: المسافة بين مركزي الجسمين
قوانين كبلر:
1) القانون الأول (المدارات): كل كوكب يتحرك في مدار إهليلجي والشمس في أحد بؤرتيه.
2) القانون الثاني (المساحات): الخط الواصل من الشمس للكوكب يجتاح مساحات متساوية في أزمنة متساوية.
3) القانون الثالث (الفترات): T² ∝ r³ أو T²/r³ = ثابت لجميع كواكب المجموعة الشمسية.
ربط الجاذبية بالمدار الدائري:
GMm/r² = mv²/r → v = √(GM/r) T = 2πr/v = 2πr√(r/GM) → T² = 4π²r³/(GM)أسئلة تدريبية
1. جسمان كتلتاهما 1000 كجم و500 كجم تفصلهما مسافة 2 م. احسب قوة الجاذبية بينهما. G = 6.67×10⁻¹¹
عرض الإجابة
F = G·m₁m₂/r² = (6.67×10⁻¹¹×1000×500)/4 = (3.335×10⁻⁵)/4 ≈ 8.34×10⁻⁶ ن.
2. كوكب المشتري كتلته 1.9×10²⁷ كجم. قمر يدور حوله في مدار دائري نصف قطره 4.2×10⁸ م. احسب سرعة القمر. G = 6.67×10⁻¹¹
عرض الإجابة
v = √(GM/r) = √(6.67×10⁻¹¹×1.9×10²⁷/(4.2×10⁸)). = √(1.267×10¹⁷/4.2×10⁸) = √(3.02×10⁸) ≈ 1.74×10⁴ م/ث.
3. إذا تضاعفت المسافة بين جسمين، كيف تتغير قوة الجاذبية بينهما؟
عرض الإجابة
F = Gm₁m₂/r². إذا صار r → 2r: F_جديد = Gm₁m₂/(2r)² = F/4. تقل الجاذبية إلى ربعها.
4. صياغ قانون كبلر الثالث: إذا كان الكوكب A يبعد عن الشمس 2 وحدة فلكية والكوكب B يبعد 4 وحدات. ما نسبة فترتي دورانهما؟
عرض الإجابة
T²/r³ = ثابت ← T²_A/T²_B = r³_A/r³_B = 8/64 = 1/8 ← T_A/T_B = 1/√8 = 1/(2√2). أو T_B = T_A×2√2 ≈ 2.83 T_A.
5. ما السرعة المدارية لقمر اصطناعي يدور على ارتفاع 400 كم فوق سطح الأرض؟ كتلة الأرض 6×10²⁴ كجم، نصف قطر الأرض 6400 كم. G = 6.67×10⁻¹¹
عرض الإجابة
r = (6400+400)×10³ = 6.8×10⁶ م. v = √(6.67×10⁻¹¹×6×10²⁴/(6.8×10⁶)) = √(4×10⁰⁷/6.8) = √(5.88×10⁶) ≈ 7660 م/ث ≈ 7.66 كم/ث.
6. لماذا يتحرك الكوكب بسرعة أكبر عند اقترابه من الشمس (قانون كبلر الثاني)؟
عرض الإجابة
لأن قانون كبلر الثاني يقول إن الخط الواصل يجتاح مساحات متساوية في أزمنة متساوية. عند الاقتراب من الشمس (r أصغر) يجب أن تكون المسافة المقطوعة أطول في نفس الزمن ليتساوى المثلث المساحة، إذن السرعة أكبر.
7. ما تسارع الجاذبية على سطح كوكب كتلته M ونصف قطره R؟ اشتق العلاقة.
عرض الإجابة
mg = GMm/R² ← g = GM/R². على سطح الأرض: g = 6.67×10⁻¹¹×6×10²⁴/(6.4×10⁶)² ≈ 9.8 م/ث².
8. كوكبان يتبادلان قوة جذب F. إذا تضاعفت كتلة أحدهما وثلّثت المسافة بينهما، ما القوة الجديدة؟
عرض الإجابة
F_جديد = G(2m₁)m₂/(r/3)² = 2Gm₁m₂×9/r² = 18F.
9. ما الفرق بين وزن الجسم وكتلته وكيف يتغير كل منهما مع الابتعاد عن الأرض؟
عرض الإجابة
الكتلة m ثابتة لا تتغير. الوزن W = mg = GMm/r² يقل مع زيادة r (يتناسب عكسيًا مع r²). على سطح القمر الوزن ≈ سدس وزنه على الأرض، لكن الكتلة نفسها.
10. كوكب فترة دورانه T₁ ومتوسط بعده عن الشمس r₁. كوكب آخر بعده r₂ = 4r₁. ما فترة دورانه T₂؟
عرض الإجابة
T²/r³ = ثابت ← T₂²/T₁² = r₂³/r₁³ = (4r₁)³/r₁³ = 64 ← T₂ = 8T₁.
11. قمر اصطناعي يدور حول الأرض بفترة 2 ساعة. قمر آخر يدور بفترة 16 ساعة. ما نسبة بُعدي مداريهما؟
عرض الإجابة
T₁²/T₂² = r₁³/r₂³ ← r₁³/r₂³ = 4/256 = 1/64 ← r₁/r₂ = (1/64)^(1/3) = 1/4. مدار القمر الأول ربع مدار الثاني.
12. لماذا لا تسقط الأقمار الصناعية على الأرض رغم تأثر الجاذبية عليها؟
عرض الإجابة
لأن سرعتهم الأفقية الكبيرة تجعل مسارهم الساقط يتقوس بنفس قدر تقوس سطح الأرض — يسقطون باستمرار لكن الأرض ‘تهرب’ من تحتهم. القوة المركزية اللازمة للمدار توفرها الجاذبية تمامًا.