الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على حساب السعات الحرارية المولية للغاز عند ثبات الحجم والضغط وتطبيق علاقة ماير.
شرح الدرس
السعة الحرارية المولية: الحرارة اللازمة لرفع درجة حرارة مول واحد درجة كلفن.
عند حجم ثابت: Cv = ΔU/(nΔT)
للغاز أحادي الذرة: Cv = 3/2 R
للغاز ثنائي الذرة: Cv = 5/2 R
عند ضغط ثابت: Cp = Cv + R (علاقة ماير)
نسبة السعات الحرارية: γ = Cp/Cv[/keep>
أحادي الذرة: γ = 5/3 ≈ 1.67
ثنائي الذرة: γ = 7/5 = 1.4
أسئلة تدريبية
1. احسب Cv وCp لغاز أحادي الذرة. R=8.314 J/(mol·K)
عرض الإجابة
Cv=3/2 R=12.47 J/(mol·K). Cp=Cv+R=20.78 J/(mol·K).
2. احسب الحرارة اللازمة لرفع درجة حرارة 3 مول هيليوم (أحادي) 50 K عند V ثابت.
عرض الإجابة
Q=nCvΔT=3×12.47×50=1870.5 J.
3. نفس الغاز السابق في تحول ضغط ثابت. ما الحرارة اللازمة؟
عرض الإجابة
Q=nCpΔT=3×20.78×50=3117 J. (أكبر لأن جزء منها يذهب للشغل).
4. لماذا Cp > Cv دائمًا؟
عرض الإجابة
عند P ثابت، يتمدد الغاز ويُنجز شغلًا إضافيًا W=nRΔT فوق تغير الطاقة الداخلية. لذا يحتاج حرارة أكبر من التحول الحجمي لنفس ارتفاع T. الفرق هو R: Cp=Cv+R.
5. احسب γ لغاز أحادي الذرة وللثنائي وفسّر الفرق.
عرض الإجابة
أحادي: γ=Cp/Cv=(5/2 R)/(3/2 R)=5/3≈1.67. ثنائي: γ=(7/2 R)/(5/2 R)=7/5=1.4. الفرق: الغاز ثنائي الذرة له درجات حرية دورانية إضافية تمتص الطاقة، فيقل γ.
6. اشتق علاقة ماير Cp = Cv + R من القانون الأول للديناميكا الحرارية.
عرض الإجابة
عند P ثابت: Q=ΔU+W. Q=nCpΔT. ΔU=nCvΔT. W=PΔV=nRΔT. إذن: nCpΔT=nCvΔT+nRΔT→Cp=Cv+R ✓
7. في تحول أديباتي: TV^(γ-1) = ثابت. غاز ثنائي الذرة (γ=1.4) حجمه 1 L عند 300 K انضغط لـ0.5 L. احسب T الجديدة.
عرض الإجابة
T₁V₁^(γ-1)=T₂V₂^(γ-1)→T₂=T₁×(V₁/V₂)^(γ-1)=300×(1/0.5)^0.4=300×2^0.4=300×1.32≈396 K.
8. ما معنى درجات الحرية في سياق السعة الحرارية؟
عرض الإجابة
درجات الحرية هي الطرق المستقلة التي يمكن للجزيء أن يحمل بها طاقة حركية. أحادي: 3 (حركة انتقالية فقط). ثنائي: 5 (3 انتقالية + 2 دورانية). كل درجة تستحوذ على 1/2 kT من الطاقة.
9. احسب الشغل المُنجز في تحول ضغط ثابت لـ2 مول نيتروجين (ثنائي الذرة) ترتفع T بـ100 K.
عرض الإجابة
W=nRΔT=2×8.314×100=1662.8 J.
10. ما نسبة الشغل للحرارة الكلية في التحول السابق؟
عرض الإجابة
Q=nCpΔT=2×(7/2×8.314)×100=2×29.1×100=5831 J. W/Q=1663/5831≈0.285≈28.5%.
11. غاز أحادي الذرة n=1 يُسخَّن من T₁ إلى T₂ مرة عند V ثابت ومرة عند P ثابت. أيهما يحتاج حرارة أكبر؟ بكم؟
عرض الإجابة
Q_P=nCpΔT=5/2 RΔT. Q_V=nCvΔT=3/2 RΔT. Q_P/Q_V=5/3. التحول الضغطي يحتاج 5/3 حرارة التحول الحجمي.
12. آلة حرارية تعمل بالهواء (γ=1.4). في طور الانضغاط الأديباتي، الحجم ينخفض للنصف. احسب نسبة ارتفاع الضغط. P₁V₁^γ = P₂V₂^γ
عرض الإجابة
P₂=P₁×(V₁/V₂)^γ=P₁×2^1.4=P₁×2.639. الضغط يرتفع لنحو 2.64 ضعف.