الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على تحليل حركة المقذوف الذي يُلقى بزاوية مع الأفق، وحساب أقصى ارتفاع والمدى الأفقي والزمن الكلي.
شرح الدرس
مركبات السرعة الابتدائية:
- أفقية: v₀ₓ = v₀·cos θ
- رأسية: v₀ᵧ = v₀·sin θ
أقصى ارتفاع: H = v₀ᵧ²/(2g) = (v₀·sin θ)²/(2g)
عند أقصى ارتفاع: vᵧ = 0، والسرعة = v₀ₓ فقط.
الزمن الكلي: T = 2v₀ᵧ/g = 2v₀·sin θ/g
المدى الأفقي: R = v₀ₓ·T = v₀²·sin 2θ/g
أقصى مدى عند θ = 45° حيث sin 90° = 1.
ملاحظة مهمة: المقذوفان اللذان تكمل زاويتاهما بعضهما (مثل 30° و60°) لهما نفس المدى الأفقي.
أسئلة تدريبية
1. جسم أُلقي بسرعة 40 م/ث بزاوية 30° مع الأفق. احسب المركبتين الأفقية والرأسية للسرعة الابتدائية. (sin30°=0.5، cos30°=0.866)
عرض الإجابة
v₀ₓ = 40×0.866 = 34.64 م/ث. v₀ᵧ = 40×0.5 = 20 م/ث.
2. بإكمال السؤال السابق، احسب أقصى ارتفاع يبلغه الجسم. g = 10 م/ث²
عرض الإجابة
H = v₀ᵧ²/(2g) = 20²/(2×10) = 400/20 = 20 م.
3. جسم أُلقي بسرعة 50 م/ث بزاوية 53° مع الأفق. احسب الزمن الكلي للحركة. (sin53°=0.8، g=10 م/ث²)
عرض الإجابة
v₀ᵧ = 50×0.8 = 40 م/ث. T = 2v₀ᵧ/g = 2×40/10 = 8 ث.
4. بإكمال السؤال السابق، احسب المدى الأفقي. (cos53°=0.6)
عرض الإجابة
v₀ₓ = 50×0.6 = 30 م/ث. R = v₀ₓ×T = 30×8 = 240 م.
5. جسم أُلقي بزاوية 45° بسرعة 20 م/ث. احسب المدى الأفقي. g = 10 م/ث² (sin90°=1)
عرض الإجابة
R = v₀²·sin2θ/g = 20²×sin90°/10 = 400×1/10 = 40 م.
6. أثبت أن المقذوفين عند زاويتي 30° و60° (بنفس السرعة الابتدائية) يصلان إلى نفس المدى الأفقي.
عرض الإجابة
sin(2×30°) = sin 60° = 0.866. sin(2×60°) = sin 120° = 0.866. المديان متساويان لأن sin 2θ نفس القيمة للزاويتين.
7. جسم أُلقي بزاوية 37° فكان أقصى ارتفاع 18 م. احسب السرعة الابتدائية. (sin37°=0.6، g=10 م/ث²)
عرض الإجابة
H = (v₀·sin θ)²/(2g) ← 18 = (v₀×0.6)²/(20) ← (0.6v₀)² = 360 ← 0.6v₀ = √360 = 6√10 ← v₀ = 10√10 ≈ 31.6 م/ث.
8. ما سرعة الجسم عند نقطة أقصى ارتفاع؟ وما اتجاهها؟
عرض الإجابة
عند أقصى ارتفاع تنعدم المركبة الرأسية (vᵧ = 0)، فتصبح السرعة = المركبة الأفقية فقط: v = v₀ₓ = v₀·cos θ، واتجاهها أفقي تمامًا.
9. جسم أُلقي بسرعة 30 م/ث بزاوية 53°. ما سرعته بعد 2 ث من الإطلاق؟ (sin53°=0.8، cos53°=0.6، g=10 م/ث²)
عرض الإجابة
v₀ₓ = 30×0.6 = 18 م/ث. v₀ᵧ = 30×0.8 = 24 م/ث. بعد 2ث: vᵧ = 24−10×2 = 4 م/ث. v = √(18²+4²) = √(324+16) = √340 ≈ 18.4 م/ث.
10. جسم أُلقي بزاوية فكان المدى الأفقي 80 م وأقصى ارتفاع 20 م. احسب الزاوية. g = 10 م/ث²
عرض الإجابة
من R = v₀²·sin2θ/g وH = v₀²·sin²θ/(2g): R/4H = v₀²·sin2θ/g ÷ v₀²·sin²θ/(2g/4) → بتقسيم: R/(4H) = cos θ/sin θ·2 → tan θ = 4H/R = 4×20/80 = 1 → θ = 45°.
11. مقذوف أُطلق من سطح الأرض بزاوية 60°. في أي لحظة يكون ارتفاعه 30 م (للمرة الأولى)؟ v₀ = 40 م/ث، g = 10 م/ث² (sin60°=0.866)
عرض الإجابة
v₀ᵧ = 40×0.866 = 34.64 م/ث. 30 = 34.64t − 5t². 5t²−34.64t+30=0. t = (34.64−√(34.64²−4×5×30))/(2×5) = (34.64−√(1199.9−600))/10 = (34.64−√599.9)/10 ≈ (34.64−24.49)/10 ≈ 1.01 ث.
12. لماذا يُعطي إطلاق المقذوف بزاوية 45° أقصى مدى أفقي (من سطح مستوٍ)؟
عرض الإجابة
لأن المدى R = v₀²·sin2θ/g، وأقصى قيمة لـ sin2θ هي 1 عندما 2θ = 90° → θ = 45°. أي تحقيق أفضل توازن بين المركبتين الأفقية والرأسية.