الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على تطبيق قوانين البندول الزنبركي وحساب فترة اهتزازه وطاقته.
شرح الدرس
البندول الزنبركي: كتلة m متصلة بزنبرك ثابت مرونته k.
ω = √(k/m)، T = 2π√(m/k)، f = 1/T = (1/2π)√(k/m)
ملاحظات:
- الفترة مستقلة عن السعة (طالما ≠ SHM يُنتهك)
- الفترة مستقلة عن الموضع (أفقي أو رأسي)
- الطاقة الكلية: E = ½kA²
أسئلة تدريبية
1. زنبرك ثابته 400 ن/م يحمل كتلة 1 كجم. احسب الفترة.
عرض الإجابة
T=2π√(1/400)=2π×0.05=0.314 ث.
2. بندول زنبركي فترته 0.5 ث وكتلته 2 كجم. احسب k.
عرض الإجابة
T=2π√(m/k)→0.5=2π√(2/k)→(0.5/2π)²=2/k→k=2/(0.0633)²≈315 ن/م.
3. إذا تضاعفت الكتلة في البندول الزنبركي، كيف تتغير الفترة؟
عرض الإجابة
T=2π√(m/k)، تضاعف m→T_جديد=2π√(2m/k)=√2×T. تزداد بمقدار √2.
4. بندول زنبركي سعته 5 سم وثابت مرونته 500 ن/م. احسب طاقته الكلية.
عرض الإجابة
E=½kA²=½×500×(0.05)²=½×500×0.0025=0.625 J.
5. لماذا تكون فترة البندول الزنبركي مستقلة عن السعة؟
عرض الإجابة
لأن كلًا من السرعة القصوى (∝A) وقوة الاستعادة (∝A) يتناسبان مع السعة، فتأثيرهما يُلغي بعضهما في تحديد الفترة. رياضيًا: T=2π√(m/k) لا يحتوي A.
6. زنبركان بثوابت k₁ = 100 ن/م وk₂ = 300 ن/م موصولان على التوالي مع كتلة 2 كجم. احسب الفترة. (للتوالي: 1/k = 1/k₁+1/k₂)
عرض الإجابة
1/k=1/100+1/300=4/300→k=75 ن/م. T=2π√(2/75)=2π×0.163≈1.025 ث.
7. نفس الزنبركان موصولان على التوازي. احسب الفترة. (للتوازي: k=k₁+k₂)
عرض الإجابة
k=100+300=400 ن/م. T=2π√(2/400)=2π×0.0707≈0.444 ث.
8. بندول زنبركي تردده 5 Hz. إذا استُبدلت الكتلة بأخرى أربعة أمثالها، ما التردد الجديد؟
عرض الإجابة
f=1/(2π)√(k/m)، تضاعف m أربعة أضعاف→f_جديد=f/√4=5/2=2.5 Hz.
9. كتلة 0.4 كجم على زنبرك تهتز بسعة 3 سم. أقصى سرعتها 0.6 م/ث. احسب k.
عرض الإجابة
v_max=Aω→0.6=0.03×ω→ω=20 راد/ث. k=mω²=0.4×400=160 ن/م.
10. بندول زنبركي في سيارة متسارعة. هل تتغير فترته مقارنةً بحالة السكون؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
لا تتغير. فترة البندول الزنبركي T=2π√(m/k) لا تعتمد على تسارع المجال الثقالي أو تسارع المرجع (بخلاف البندول البسيط).
11. احسب سرعة الكتلة في البندول الزنبركي عندما إزاحتها x بدلالة k وm وA.
عرض الإجابة
من حفظ الطاقة: ½mv²+½kx²=½kA²→v=√(k/m)·√(A²−x²)=ω√(A²−x²).
12. ما الشرط الذي يجب توافره حتى تكون حركة الزنبرك بسيطة توافقية فعلًا؟
عرض الإجابة
يجب أن تبقى الكتلة ضمن حدود مرونة الزنبرك (لا يتمدد أو ينضغط بشكل دائم)، وأن تُهمل كتلة الزنبرك نفسه مقارنةً بالكتلة المعلقة، وأن تُهمل قوى الاحتكاك.