الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على وصف الحركة الدائرية المنتظمة وحساب التسارع المركزي والقوة المركزية اللازمة لها.
شرح الدرس
الحركة الدائرية المنتظمة: جسم يتحرك بسرعة ثابتة المقدار على دائرة نصف قطرها r.
- السرعة الزاوية: ω = 2π/T = 2πf (راديان/ث)
- السرعة الخطية: v = r·ω = 2πr/T
- الفترة: T = 2πr/v
التسارع المركزي (centripetal acceleration):
دائمًا نحو مركز الدائرة:
aₓ = v²/r = r·ω²
القوة المركزية (centripetal force):
Fc = m·aₓ = mv²/r = m·r·ω²
القوة المركزية ليست نوعًا جديدًا من القوى — بل هي محصلة قوى موجودة (احتكاك، شد، جاذبية) تعمل نحو المركز.
أسئلة تدريبية
1. جسم يتحرك بسرعة 6 م/ث في دائرة نصف قطرها 3 م. احسب تسارعه المركزي.
عرض الإجابة
aₓ = v²/r = 36/3 = 12 م/ث².
2. سيارة كتلتها 1000 كجم تدور في منحنى دائري نصف قطره 50 م بسرعة 20 م/ث. احسب القوة المركزية اللازمة.
عرض الإجابة
Fc = mv²/r = 1000×400/50 = 8000 ن.
3. جسم يتحرك في دائرة نصف قطرها 2 م بسرعة زاوية ω = 3 راد/ث. احسب سرعته الخطية وتسارعه المركزي.
عرض الإجابة
v = r·ω = 2×3 = 6 م/ث. aₓ = r·ω² = 2×9 = 18 م/ث².
4. قمر اصطناعي يدور حول الأرض في مدار دائري نصف قطره R بسرعة v. ما القوة التي تمدّه بالتسارع المركزي؟
عرض الإجابة
قوة الجاذبية الأرضية تمدّه بالقوة المركزية اللازمة للبقاء في المدار الدائري. Fc = mv²/R = GMm/R².
5. إذا تضاعف نصف قطر الحركة الدائرية مع بقاء السرعة الخطية ثابتة، كيف يتغير التسارع المركزي؟
عرض الإجابة
aₓ = v²/r. إذا تضاعف r يصبح 2r: aₓ_جديد = v²/(2r) = aₓ/2. يتناصف التسارع المركزي.
6. جسم يتحرك في دائرة بسرعة ثابتة المقدار. لماذا يُعدّ متسارعًا رغم ثبات مقدار سرعته؟
عرض الإجابة
لأن السرعة متجه — وإن ظل مقدارها ثابتًا فإن اتجاهها يتغير باستمرار نحو الداخل. التغير في الاتجاه يعني وجود تسارع (التسارع المركزي) نحو مركز الدائرة.
7. سيارة تسير على طريق مستقيم بسرعة 20 م/ث ثم تدخل في منحنى دائري نصف قطره 100 م بنفس السرعة. ما الاحتكاك اللازم؟ كتلة السيارة 800 كجم. g = 10 م/ث²
عرض الإجابة
Fc = mv²/r = 800×400/100 = 3200 ن. معامل الاحتكاك: μ = Fc/(mg) = 3200/8000 = 0.4.
8. حجر مربوط بخيط طوله 0.5 م يدور في مستوى أفقي بفترة T = π/5 ث. احسب سرعته الخطية والتسارع المركزي.
عرض الإجابة
v = 2πr/T = 2π×0.5/(π/5) = π/(π/5) = 5 م/ث. aₓ = v²/r = 25/0.5 = 50 م/ث².
9. إذا تضاعفت سرعة جسم في حركة دائرية (مع ثبات نصف القطر)، كيف تتغير القوة المركزية؟
عرض الإجابة
Fc = mv²/r. إذا تضاعفت v: Fc_جديد = m(2v)²/r = 4mv²/r = 4Fc. تتضاعف القوة المركزية 4 مرات.
10. لماذا لا تعمل القوة المركزية على تغيير مقدار سرعة الجسم في الحركة الدائرية المنتظمة؟
عرض الإجابة
لأن القوة المركزية دائمًا عمودية على اتجاه السرعة (تتجه نحو المركز بينما السرعة مماسية للمسار). القوة العمودية على الاتجاه لا تؤدي شغلًا ولا تغير مقدار السرعة، بل تغير اتجاهها فقط.
11. مركبة فضائية تدور في مدار دائري نصف قطره 8000 كم بسرعة 7 كم/ث. احسب تسارعها المركزي.
عرض الإجابة
aₓ = v²/r = (7000)²/(8000000) = 49,000,000/8,000,000 ≈ 6.125 م/ث².
12. ما الفرق بين التسارع المركزي والقوة المركزية من حيث التعريف والوحدات ومن أين يأتي كل منهما؟
عرض الإجابة
التسارع المركزي aₓ = v²/r (م/ث²) هو وصف للحركة — كيف يتغير اتجاه السرعة. القوة المركزية Fc = maₓ (نيوتن) هي السبب الذي يُنتج هذا التسارع، وتأتي من قوى حقيقية موجودة: احتكاك، شد خيط، جاذبية، قوة كهربية… إلخ.