الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على تحليل حركة الجسيمات المشحونة في المجالات المغناطيسية وحساب نصف قطر مسارها الدائري.
شرح الدرس
قوة لورنتس على شحنة متحركة:
F = qvB·sinθإذا كانت v ⊥ B: F = qvB (أقصى قيمة)، والقوة تُشكّل مسارًا دائريًا.
المسار الدائري: قوة لورنتس = القوة المركزية:
qvB = mv²/r → r = mv/(qB)التردد الدوري (تردد السيكلوترون):
f = qB/(2πm) (مستقل عن السرعة)
أسئلة تدريبية
1. إلكترون يتحرك بسرعة 2×10⁶ م/ث عموديًا على مجال B=0.5T. احسب قوة لورنتس عليه. e=1.6×10⁻¹⁹
عرض الإجابة
F=qvB=1.6×10⁻¹⁹×2×10⁶×0.5=1.6×10⁻¹³ N.
2. احسب نصف قطر مسار الإلكترون السابق. mₑ=9.11×10⁻³¹
عرض الإجابة
r=mv/(qB)=9.11×10⁻³¹×2×10⁶/(1.6×10⁻¹⁹×0.5)=1.822×10⁻²⁴/8×10⁻²⁰≈2.28×10⁻⁵ م.
3. بروتون في مجال B=0.1T يتحرك في دائرة نصف قطرها 0.2م. احسب سرعته. mp=1.67×10⁻²⁷
عرض الإجابة
r=mv/(qB)→v=qBr/m=1.6×10⁻¹⁹×0.1×0.2/1.67×10⁻²⁷=3.2×10⁻²¹/1.67×10⁻²⁷≈1.92×10⁶ م/ث.
4. ما تردد السيكلوترون لبروتون في مجال B=2T؟ mp=1.67×10⁻²⁷
عرض الإجابة
f=qB/(2πm)=1.6×10⁻¹⁹×2/(2π×1.67×10⁻²⁷)=3.2×10⁻¹⁹/1.05×10⁻²⁶≈3.05×10⁷ Hz=30.5 MHz.
5. لماذا لا تُغير القوة المغناطيسية مقدار سرعة الجسيم؟
عرض الإجابة
لأن القوة المغناطيسية دائمًا عمودية على السرعة. القوة العمودية لا تُنجز شغلًا (W=Fd·cosθ، θ=90°→W=0) ولذا لا تُغير الطاقة الحركية ولا مقدار السرعة.
6. ألفا يتحرك بنصف سرعة بروتون في نفس المجال. قارن نصفَي قطرَي مساريهما. mα=4mp، qα=2e
عرض الإجابة
r=mv/(qB). r_α/r_p=(4mp×v_α/2e)/(mp×v_p/e)=(4×v_α/2)/(v_p)=(2v_α)/v_p. v_α=v_p/2→r_α/r_p=2×(v_p/2)/v_p=1. نصفا القطر متساويان!
7. ما مبدأ السيكلوترون (مسرّع الجسيمات)؟
عرض الإجابة
نصفان نصف دائريان (D-shaped) بمجال مغناطيسي ثابت يُديران الجسيمات، وبينهما فجوة تتردد فيها كهرباء بتردد السيكلوترون لتسارع الجسيمات في كل عبور. تتوسع الدوائر مع زيادة السرعة.
8. جسيم مشحون سلبيًا يتحرك للأعلى في مجال مغناطيسي للشمال. ما اتجاه القوة؟
عرض الإجابة
للشحنة الموجبة: F=qv×B=(+z)×(+y)=(−x) أي للغرب. للشحنة السالبة: F=−e(v×B) أي للشرق.
9. في طيف الكتلة: إذا كان لأيونَين نفس الشحنة ونفس السرعة لكن كتلتان مختلفتان. كيف يختلفان في مسارهما؟
عرض الإجابة
r=mv/(qB). نفس v وq وB، مختلفا m→r∝m. الأيون الأثقل له نصف قطر أكبر. هذا أساس مطياف الكتلة: يفصل الأيونات حسب كتلتها.
10. ما التطبيق الطبي لحركة الجسيمات في المجال المغناطيسي؟
عرض الإجابة
1) مطياف الكتلة: يُستخدم في تحليل المواد البيولوجية. 2) سرطان العلاج بالبروتونات (Proton Therapy): يُوجَّه حزمة بروتونات مسارعة بدقة للورم بمجالات مغناطيسية. 3) PET scan: يكشف اضمحلال البوزيترون.
11. بروتون وإلكترون يتحركان بنفس السرعة في نفس المجال. احسب نسبة أنصاف قطرَي مساريهما.
عرض الإجابة
r∝m/q. كلاهما شحنة e. r_p/r_e=mp/me=1.67×10⁻²⁷/9.11×10⁻³¹≈1836. مسار البروتون أوسع بـ 1836 مرة.
12. جسيم يدخل مجالًا مغناطيسيًا بسرعة v. إذا تضاعف المجال، ما الذي يتغير في حركته؟
عرض الإجابة
r=mv/(qB). تضاعف B→r_جديد=r/2. يصغر نصف القطر. التردد: f=qB/(2πm) يتضاعف. السرعة لا تتغير (القوة لا تُنجز شغلًا).