الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على اشتقاق وتطبيق قانون فترة البندول البسيط وتحليل العوامل المؤثرة فيها.
شرح الدرس
البندول البسيط: كتلة نقطية تتأرجح بخيط طوله L بزوايا صغيرة.
T = 2π√(L/g)، f = (1/2π)√(g/L)
العوامل المؤثرة على الفترة:
- تزيد الفترة عند زيادة L
- تقل الفترة عند زيادة g
- مستقلة عن الكتلة والسعة (للزوايا الصغيرة)
أسئلة تدريبية
1. بندول طوله 1 م. احسب فترته. g = 10 م/ث²، π² ≈ 10
عرض الإجابة
T=2π√(1/10)=2π×0.316≈2 ث.
2. بندول فترته 4 ث. احسب طوله. g = 10 م/ث²
عرض الإجابة
T²=4π²L/g→16=4π²L/10→L=160/(4π²)≈4.05 م.
3. بندول على سطح القمر (g_قمر=1.67 م/ث²) طوله 1 م. ما فترته؟
عرض الإجابة
T=2π√(1/1.67)=2π×0.774≈4.86 ث.
4. إذا تضاعف طول البندول البسيط، كيف تتغير فترته؟
عرض الإجابة
T∝√L، تضاعف L→T_جديد=√2×T.
5. بندولان طول الأول L والثاني 4L. ما نسبة فترتيهما؟
عرض الإجابة
T₁/T₂=√(L/4L)=√(1/4)=1/2. فترة الثاني ضعف الأول.
6. بندول فترته 2 ث على الأرض. ما فترته على كوكب g’ = 2.5 م/ث²؟ g_أرض = 10 م/ث²
عرض الإجابة
نفس الطول. T∝1/√g→T’=T×√(g/g’)=2×√(10/2.5)=2×2=4 ث.
7. لماذا يُستخدم البندول البسيط لقياس g؟ اذكر الخطوات.
عرض الإجابة
قياس L بمسطرة، قياس T بتوقيت عدة تذبذبات بمؤقت. ثم g=4π²L/T².
8. ماذا يحدث لفترة البندول البسيط لو استُبدلت الكتلة بأخرى أثقل؟
عرض الإجابة
لا تتغير الفترة. T=2π√(L/g) مستقلة تمامًا عن الكتلة.
9. بندول في مصعد يتسارع لأعلى بتسارع a = 5 م/ث². ما فترته إذا كان طوله 1 م؟ g = 10 م/ث²
عرض الإجابة
g_فعلي=g+a=15 م/ث². T=2π√(1/15)≈1.62 ث. (أقل من الحالة العادية).
10. كيف يمكن الاستدلال على أن g في مدينة ما أكبر من مدينة أخرى باستخدام نفس البندول؟
عرض الإجابة
بملاحظة أن البندول يهتز بفترة أقل في المدينة الأولى (T∝1/√g)، وبالتالي g أكبر هناك.
11. ماذا يحدث إذا كانت زاوية التأرجح كبيرة (مثل 60°)؟ هل تنطبق المعادلة البسيطة؟
عرض الإجابة
لا. المعادلة T=2π√(L/g) صحيحة فقط للزوايا الصغيرة (أقل من ~15°) حيث sin θ≈θ. للزوايا الكبيرة، الفترة الحقيقية أطول وتحتاج تصحيحات رياضية.
12. بندول طوله L ينجز n تذبذبة في زمن t. اشتق علاقة لحساب g.
عرض الإجابة
T=t/n. T²=4π²L/g→g=4π²L/T²=4π²Ln²/t².