الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على وصف الحركة التوافقية البسيطة وحساب الإزاحة والسرعة والتسارع في أي لحظة.
شرح الدرس
الحركة التوافقية البسيطة (SHM): حركة تذبذبية تتناسب فيها قوة الاستعادة مع الإزاحة وتعاكسها في الاتجاه: F = −kx
معادلات الحركة:
- الإزاحة: x = A·cos(ωt + φ)
- السرعة: v = −Aω·sin(ωt + φ) → أقصى سرعة: v_max = Aω (عند المركز)
- التسارع: a = −ω²x → أقصى تسارع: a_max = ω²A (عند الأطراف)
الطاقة: مجموع الطاقة الحركية والمرنة ثابت: E = ½kA² = ½mv_max²
أسئلة تدريبية
1. جسم يتحرك حركة توافقية سعته 0.1 م وتردده الزاوي ω = 10 راد/ث. احسب أقصى سرعة.
عرض الإجابة
v_max = Aω = 0.1×10 = 1 م/ث.
2. نفس الجسم السابق. احسب أقصى تسارع.
عرض الإجابة
a_max = ω²A = 100×0.1 = 10 م/ث².
3. جسم في SHM إزاحته x = 0.05·cos(6t) م. ما سعته وترددده الزاوي وأقصى سرعة؟
عرض الإجابة
A=0.05م، ω=6 راد/ث، v_max=0.05×6=0.3 م/ث.
4. في أي موضع تكون طاقة الجسم حركية بالكامل؟ وفي أي موضع تكون مرنة بالكامل؟
عرض الإجابة
طاقة حركية كاملة عند المركز (x=0). طاقة مرنة كاملة عند الأطراف (x=±A).
5. جسم في SHM سعته 8 سم وأقصى تسارعه 32 م/ث². احسب ترددده الزاوي.
عرض الإجابة
a_max = ω²A → 32 = ω²×0.08 → ω² = 400 → ω = 20 راد/ث.
6. جسم كتلته 0.5 كجم في SHM سعته 0.04 م وـk = 200 ن/م. احسب أقصى سرعة.
عرض الإجابة
ω=√(k/m)=√400=20 راد/ث. v_max=Aω=0.04×20=0.8 م/ث.
7. في SHM ، ما اتجاه التسارع عندما يكون الجسم في أقصى إزاحة موجبة؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
التسارع في الاتجاه السالب (نحو المركز)، لأن a=−ω²x وعند x=+A يكون a=−ω²A (سالب).
8. جسم في SHM طاقته الكلية 0.5 J وسعته 0.1 م. احسب ثابت المرونة k.
عرض الإجابة
E=½kA² → 0.5=½k×0.01 → k=100 ن/م.
9. إذا تضاعفت سعة الحركة التوافقية، كيف تتغير طاقتها الكلية؟
عرض الإجابة
E=½kA²، تضاعف A→ E_جديد=½k(2A)²=4×½kA²=4E. تتضاعف 4 مرات.
10. جسم في SHM إزاحته نصف سعته. ما نسبة طاقته الحركية لطاقته الكلية؟
عرض الإجابة
E_حركية=E_كلية−E_مرنة=½kA²−½k(A/2)²=½kA²(1−¼)=¾E. النسبة=75%.
11. عند أي قيمتين للإزاحة تتساوى الطاقة الحركية والمرنة في SHM؟
عرض الإجابة
½mv²=½kx² و E=½kA². عند E_حركية=E_مرنة: كل منهما=E/2 → x=A/√2=0.707A.
12. ما العلاقة بين قوة الاستعادة في SHM وإزاحة الجسم؟ وكيف تختلف عن الاحتكاك؟
عرض الإجابة
قوة الاستعادة F=−kx: تتناسب طرديًا مع الإزاحة وتعاكسها دائمًا — تعيد الجسم للمركز. الاحتكاك يعاكس السرعة ويبدد الطاقة، بينما قوة الاستعادة محافظة على الطاقة.