الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على حل مسائل متنوعة تجمع بين طرق الاشتقاق المختلفة المدروسة عبر هذا الباب.
شرح الدرس
يُختتم هذا الباب بدرس تطبيقي يجمع بين طرق الاشتقاق الأربع المدروسة عبر دروسه: الاشتقاق الضمني، الاشتقاق البارامتري، المشتقات العليا، ومشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية، بالإضافة إلى تطبيق المعدلات الزمنية المرتبطة.
مسألة نموذجية تجمع بين الاشتقاق الضمني والدوال اللوغاريتمية: أوجد دص/دس إذا كان لط(صّ) + س ص = 5. نشتق ضمنيًا بالنسبة لـ س: (1/ص)(دص/دس) + ص + س(دص/دس) = 0 (باستخدام قاعدة الضرب على حد سص، وقاعدة السلسلة على لط(ص)). نجمع حدود دص/دس: (دص/دس)(1/ص + س) = -ص، ومنها: دص/دس = -ص ÷ (1/ص + س) = -ص²/(1 + سص).
مسألة نموذجية تجمع بين الاشتقاق البارامتري والمشتقات العليا: إذا كان س = هـ^ت وص = ت هـ^ت، أوجد دص/دس ثم د²ص/دس² عند ت = 0. نحسب أولًا دس/دت = هـ^ت، ودص/دت = هـ^ت + ت هـ^ت (بقاعدة الضرب) = هـ^ت(1+ت). ثم دص/دس = هـ^ت(1+ت) ÷ هـ^ت = 1+ت. لإيجاد المشتقة الثانية، نشتق (1+ت) بالنسبة لـ ت فنحصل على 1، ثم نقسم على دس/دت = هـ^ت: د²ص/دس² = 1/هـ^ت = هـ^(-ت). عند ت=0: دص/دس = 1، ود²ص/دس² = 1.
توضح هذه الأمثلة المدمجة كيف أن طرق الاشتقاق المختلفة ليست تقنيات منفصلة تمامًا، بل تتكامل معًا غالبًا في المسألة الواحدة — وهو استعداد ضروري للباب التالي، الذي يستخدم كل هذه الأدوات لدراسة سلوك الدوال ورسم منحنياتها.
أسئلة تدريبية
1. أوجد دص/دس إذا كان س²ص + لط(س) = 3 (بخلاف مثال الشرح لط(ص)+سص=5).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: 2سص + س²(دص/دس) + 1/س = 0؛ نحل لـ دص/دس: دص/دس = -(2سص + 1/س)/س².
2. أوجد دص/دس إذا كان هـˣص = 4 (استخدم قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: هـˣ×ص + هـˣ×(دص/دس) = 0؛ نحل: دص/دس = -ص.
3. لدالة بارامترية س=3ت، ص=لط(ت) (بخلاف مثال الشرح س=هـ^ت)، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=3، دص/دت=1/ت؛ دص/دس = (1/ت)/3 = 1/(3ت).
4. احسب د²ص/دس² للدالة البارامترية في السؤال السابق.
عرض الإجابة
نشتق (1/(3ت)) بالنسبة لـ ت فنحصل على -1/(3ت²)، ثم نقسم على دس/دت=3؛ د²ص/دس² = -1/(9ت²).
5. أوجد دص/دس إذا كانت صّ³ = س² + س (اشتقاق ضمني).
عرض الإجابة
3ص²(دص/دس) = 2س+1؛ دص/دس = (2س+1)/(3ص²).
6. لدالة بارامترية س=ت²+1، ص=ت²-1، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=2ت، دص/دت=2ت؛ دص/دس = 2ت/2ت = 1.
7. أوجد دص/دس إذا كان هـ^(صّ) = س (اشتقاق ضمني لدالة أسية).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: هـ^ص×(دص/دس) = 1؛ دص/دس = 1/هـ^ص = هـ^(-ص).
8. لدالة بارامترية س=هـ^(2ت)، ص=ت، احسب دص/دس عند ت=0.
عرض الإجابة
دس/دت=2هـ^(2ت)، دص/دت=1؛ دص/دس=1/(2هـ^(2ت))؛ عند ت=0: دص/دس=1/(2هـ⁰)=1/2.
9. أوجد دص/دس إذا كانت ص لط(س) = 1 (اشتقاق ضمني، قاعدة ضرب).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: (دص/دس)لط(س) + ص(1/س) = 0؛ نحل: دص/دس = -ص/(س لط(س)).
10. لدالة بارامترية س=2ت، ص=ت³-ت، احسب دص/دس ثم بسّطها.
عرض الإجابة
دس/دت=2، دص/دت=3ت²-1؛ دص/دس = (3ت²-1)/2.
11. عند ت=1 في السؤال السابق، احسب قيمة دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = (3(1)-1)/2 = 2/2 = 1.
12. أوجد دص/دس إذا كان س + هـ^ص = 5 (اشتقاق ضمني).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: 1 + هـ^ص(دص/دس) = 0؛ دص/دس = -1/هـ^ص = -هـ^(-ص).