الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على تحديد فترات تزايد وتناقص دالة باستخدام إشارة مشتقتها الأولى.
شرح الدرس
ننتقل الآن إلى تطبيق أدوات الاشتقاق المدروسة في الباب السابق على دراسة سلوك الدالة نفسها: كيف تتغير قيم الدالة مع تغير س، بدءًا بمفهومي التزايد والتناقص.
تكون الدالة متزايدة على فترة معينة إذا كانت قيمتها تزداد كلما زادت قيمة س ضمن هذه الفترة، ومتناقصة إذا كانت قيمتها تقل كلما زادت س. يرتبط هذا السلوك مباشرة بإشارة المشتقة الأولى دص/دس: إذا كانت دص/دس > 0 على فترة، فإن الدالة متزايدة عليها؛ وإذا كانت دص/دس < 0، فإن الدالة متناقصة.
خطوات تحديد فترات التزايد والتناقص: (1) إيجاد المشتقة الأولى دص/دس. (2) إيجاد القيم الحرجة: القيم التي تجعل دص/دس = 0 أو غير معرَّفة. (3) تقسيم مجال الدالة إلى فترات باستخدام هذه القيم الحرجة كنقاط تقسيم. (4) اختيار قيمة اختبار من كل فترة والتعويض بها في دص/دس لتحديد إشارتها (وبالتالي سلوك الدالة) على تلك الفترة بالكامل.
مثال: لدالة ص = س³ – 3س، فإن دص/دس = 3س² – 3 = 3(س-1)(س+1)، والقيم الحرجة هي س = 1، س = -1. بفحص إشارة المشتقة على الفترات الثلاث الناتجة (أصغر من -1، بين -1 و1، أكبر من 1)، نجد أن الدالة متزايدة على (-∞، -1)، ومتناقصة على (-1، 1)، ومتزايدة مرة أخرى على (1، ∞) — وهذا التحول في السلوك عند القيم الحرجة هو المفتاح لتحديد القيم العظمى والصغرى المحلية، موضوع الدرس التالي.
أسئلة تدريبية
1. لدالة ص = س² – 4س (بخلاف مثال الشرح س³-3س)، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = 2س – 4.
2. أوجد القيمة الحرجة لهذه الدالة (ص=س²-4س).
عرض الإجابة
نساوي 2س-4=0، فنجد س=2.
3. حدد ما إذا كانت الدالة ص=س²-4س متزايدة أم متناقصة عند س=0 (اختبر بالتعويض في المشتقة).
عرض الإجابة
عند س=0: دص/دس=2(0)-4=-4 (سالبة)، إذن الدالة متناقصة عند هذه النقطة.
4. حدد سلوك نفس الدالة عند س=5.
عرض الإجابة
عند س=5: دص/دس=2(5)-4=6 (موجبة)، إذن الدالة متزايدة عند هذه النقطة.
5. لدالة ص = -س² + 6س، احسب دص/دس وأوجد قيمتها الحرجة.
عرض الإجابة
دص/دس = -2س+6؛ القيمة الحرجة: -2س+6=0، فس=3.
6. لدالة ص = س³ – 12س، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = 3س² – 12.
7. أوجد القيم الحرجة لهذه الدالة (ص=س³-12س).
عرض الإجابة
نساوي 3س²-12=0، فس²=4، فس=2 أو س=-2.
8. حدد سلوك الدالة ص=س³-12س عند س=0 (بين القيمتين الحرجتين -2 و2).
عرض الإجابة
عند س=0: دص/دس=3(0)-12=-12 (سالبة)، إذن الدالة متناقصة عند هذه النقطة.
9. حدد سلوك نفس الدالة عند س=3 (خارج القيمتين الحرجتين).
عرض الإجابة
عند س=3: دص/دس=3(9)-12=15 (موجبة)، إذن الدالة متزايدة عند هذه النقطة.
10. لدالة ص = س² + 2س + 1، أوجد القيمة الحرجة.
عرض الإجابة
دص/دس=2س+2؛ نساوي بصفر: 2س+2=0، فس=-1.
11. لدالة ص = 2س³ – 6س، احسب دص/دس وأوجد قيمتيها الحرجتين.
عرض الإجابة
دص/دس=6س²-6؛ نساوي بصفر: س²=1، فس=1 أو س=-1.
12. حدد سلوك الدالة ص=2س³-6س عند س=2.
عرض الإجابة
عند س=2: دص/دس=6(4)-6=18 (موجبة)، إذن الدالة متزايدة عند هذه النقطة.