الهدف

بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على إيجاد تكاملات الدوال الأسية واللوغاريتمية الأساسية والمركبة.

شرح الدرس

ننتقل الآن من الاشتقاق إلى العملية العكسية له: التكامل، بادئين بتكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية — وهو موضوع يعكس مباشرة صيغ الاشتقاق المدروسة في الباب السابق (درس مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية).

بما أن مشتقة هـˣ هي هـˣ نفسها (كما تمت دراسته سابقًا)، فإن تكامل هـˣ دس = هـˣ + ث (حيث ث ثابت التكامل، ضروري لأن تكامل أي دالة ثابتة يساوي صفرًا، فيمكن أن يكون هناك عدد غير منتهٍ من الدوال الأصلية التي تختلف فيما بينها بثابت). بما أن مشتقة لط(س) هي 1/س، فإن تكامل (1/س) دس = لط|س| + ث (نستخدم القيمة المطلقة لأن اللوغاريتم غير معرَّف للأعداد السالبة، لكن الدالة 1/س معرَّفة لها).

عند تكامل دوال مركبة، نستخدم التكامل بالتعويض (وهو الأداة العكسية لقاعدة السلسلة في الاشتقاق): لتكامل هـ^د(س) × د'(س) دس، نضع ل = د(س)، فيصبح دل = د'(س)دس، ويتحول التكامل إلى ∫هـˡ دل = هـˡ + ث = هـ^د(س) + ث. بالمثل، لتكامل د'(س)/د(س) دس، نضع نفس التعويض ليصبح التكامل ∫(1/ل)دل = لط|ل| + ث = لط|د(س)| + ث.

مثال: لإيجاد ∫2س × هـ^(س²) دس، نضع ل = س² (فيكون دل = 2سدس، وهو متوفر بالضبط في المقدار الأصلي)، فيصبح التكامل: ∫هـˡ دل = هـˡ + ث = هـ^(س²) + ث. مثال آخر: لإيجاد ∫(2س)/(س²+1) دس، نضع ل = س²+1 (فيكون دل = 2سدس)، فيصبح التكامل: ∫(1/ل)دل = لط|ل| + ث = لط(س²+1) + ث (بدون حاجة للقيمة المطلقة هنا، لأن س²+1 دائمًا موجب).

أسئلة تدريبية