الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على رسم منحنى دالة بدراسة تزايدها وتناقصها وتقعرها وقيمها القصوى معًا، وحل مسائل تطبيقية على القيم العظمى والصغرى.
شرح الدرس
يجمع هذا الدرس بين مفاهيم التزايد والتناقص (الدرس الأول) والقيم القصوى (الدرس الثاني) في عملية منظمة لـدراسة المنحنى ورسمه، إضافة إلى تطبيق هذه الأدوات على مسائل حياتية عملية.
خطوات دراسة المنحنى ورسمه: (1) إيجاد مجال الدالة ونقاط تقاطعها مع المحاور. (2) إيجاد فترات التزايد والتناقص (كما في الدرس الأول). (3) إيجاد القيم القصوى المحلية (كما في الدرس الثاني). (4) إيجاد فترات التقعر (باستخدام إشارة المشتقة الثانية: موجبة تعني تقعرًا لأعلى، سالبة تعني تقعرًا لأسفل) ونقاط الانقلاب (النقاط التي يتغير عندها التقعر). (5) رسم المنحنى مستخدمًا كل هذه المعلومات مجتمعة.
تُستخدم القيم القصوى بشكل واسع في مسائل التطبيق العملي (الأمثلية): مسائل تطلب إيجاد أكبر قيمة (كأكبر مساحة أو حجم يمكن تحقيقه بموارد محدودة) أو أصغر قيمة (كأقل تكلفة أو أقل مسافة). خطوات الحل المعتادة: (1) صياغة الكمية المطلوب تعظيمها أو تصغيرها كدالة في متغير واحد فقط (باستخدام أي قيود معطاة في المسألة لحذف المتغيرات الزائدة). (2) إيجاد القيم الحرجة لهذه الدالة. (3) استخدام اختبار المشتقة الأولى أو الثانية (كما في الدرس السابق) لتحديد أي القيم الحرجة تُعطي القيمة العظمى أو الصغرى المطلوبة، مع مراعاة حدود المجال العملي للمسألة (كأن يكون طول أو مساحة، فلا يمكن أن يكون سالبًا).
مثال توضيحي: صندوق بلا غطاء له قاعدة مربعة، ومساحة سطحه الكلية 108 سم²، أوجد أبعاده التي تُعطي أكبر حجم ممكن. نصيغ الحجم بدلالة متغير واحد (طول القاعدة)، باستخدام قيد المساحة لحذف الارتفاع، ثم نطبق خطوات إيجاد القيمة العظمى كما سبق — وهذا يوضح كيف تتكامل كل أدوات هذا الباب في مسألة تطبيقية واحدة متكاملة.
أسئلة تدريبية
1. صندوق بلا غطاء له قاعدة مربعة طول ضلعها س، ومساحة سطحه الكلية 96 سم² (بخلاف مثال الشرح 108). اكتب معادلة المساحة الكلية بدلالة س والارتفاع ل.
عرض الإجابة
المساحة الكلية = س² (القاعدة) + 4سل (الجوانب الأربعة) = 96.
2. من معادلة المساحة في السؤال السابق، عبّر عن الارتفاع ل بدلالة س.
عرض الإجابة
من 96=س²+4سل، نحصل على ل=(96-س²)/(4س).
3. اكتب معادلة حجم الصندوق ح=س²ل بدلالة س فقط (بالتعويض من السؤال السابق).
عرض الإجابة
ح = س² × (96-س²)/(4س) = (96س-س³)/4 = 24س – س³/4.
4. احسب دح/دس للحجم في السؤال السابق.
عرض الإجابة
دح/دس = 24 – (3س²)/4.
5. أوجد القيمة الحرجة لطول الضلع س التي تعطي أكبر حجم ممكن.
عرض الإجابة
نساوي 24 – 3س²/4 = 0؛ 3س²=96؛ س²=32؛ س=√32=4√2 سم تقريبًا.
6. لدالة ص = س³ – 3س² (بخلاف أي مثال آخر)، أوجد فترات التزايد والتناقص أولًا (القيم الحرجة).
عرض الإجابة
دص/دس=3س²-6س=3س(س-2)؛ القيم الحرجة: س=0، س=2.
7. لنفس الدالة (ص=س³-3س²)، احسب د²ص/دس² لتحديد فترات التقعر.
عرض الإجابة
د²ص/دس² = 6س – 6.
8. أوجد نقطة الانقلاب لهذه الدالة (حيث د²ص/دس²=0).
عرض الإجابة
نساوي 6س-6=0، فس=1 – وهي نقطة الانقلاب.
9. صندوق آخر بقاعدة مربعة ومساحة سطحية كلية 150 سم² (بلا غطاء)، اكتب معادلة المساحة الكلية بدلالة س (طول ضلع القاعدة) ول (الارتفاع).
عرض الإجابة
المساحة الكلية = س² + 4سل = 150.
10. عبّر عن الارتفاع ل بدلالة س في السؤال السابق.
عرض الإجابة
ل = (150-س²)/(4س).
11. لمستطيل محيطه 40 سم، إذا كان طوله س وعرضه ع، اكتب علاقة تربط بين س وع من معطى المحيط.
عرض الإجابة
2س+2ع=40، إذن ع=20-س.
12. اكتب معادلة مساحة هذا المستطيل بدلالة س فقط (بالتعويض من السؤال السابق)، ثم أوجد القيمة الحرجة لـ س التي تعطي أكبر مساحة.
عرض الإجابة
م = س×(20-س) = 20س-س²؛ دم/دس=20-2س؛ نساوي بصفر: س=10 سم (وهذا يعني أن المستطيل الذي له أكبر مساحة بمحيط ثابت هو مربع، إذ ع=20-10=10 أيضًا).