الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على تعريف عزم القوة بالنسبة لنقطة وحسابه باستخدام الضرب الاتجاهي للمتجهات.
شرح الدرس
ننتقل الآن إلى الجزء الثاني من هذا الكتاب: الرياضيات التطبيقية، بدءًا بباب الاستاتيكا (دراسة الأجسام في حالة سكون تحت تأثير قوى متزنة)، وأول موضوع فيه: عزم القوة.
عزم القوة بالنسبة لنقطة معينة هو مقياس لقدرة القوة على تدوير الجسم حول تلك النقطة، ويُعرَّف بأنه حاصل الضرب الاتجاهي (المدروس في باب الهندسة الفراغية سابقًا في هذا الكتاب) بين متجه الموضع من النقطة إلى نقطة تأثير القوة، والقوة نفسها: عزم = م × ق، حيث م متجه الموضع، وق متجه القوة.
في نظام إحداثي ثنائي الأبعاد (المستوى)، ينتج عن هذا الضرب الاتجاهي كمية قياسية (لا متجهًا كاملًا، لأن الناتج يكون دائمًا في اتجاه عمودي على المستوى، أي في اتجاه محور ع فقط)، تُحسب مباشرة بالصيغة: عزم = م_س × ق_ص – م_ص × ق_س، حيث (م_س، م_ص) مركبتا متجه الموضع، و(ق_س، ق_ص) مركبتا القوة.
يُحدَّد اتجاه (إشارة) العزم بحسب اتجاه الدوران الناتج: عزم موجب يعني دورانًا عكس اتجاه دوران الساعة، وعزم سالب يعني دورانًا مع اتجاه دوران الساعة (باتباع اصطلاح قاعدة اليد اليمنى، المستخدمة أيضًا في تحديد اتجاه الضرب الاتجاهي في باب المتجهات). يُقاس العزم بوحدة نيوتن.متر، وهو مفهوم أساسي يُبنى عليه فهم اتزان الأجسام تحت تأثير عدة قوى، موضوع الدروس التالية من هذا الباب.
أسئلة تدريبية
1. احسب عزم قوة مقدارها 10 نيوتن مؤثرة على ذراع طوله 3 أمتار من نقطة الارتكاز (بافتراض تعامد القوة مع الذراع).
عرض الإجابة
العزم = القوة × الذراع العمودي = 10 × 3 = 30 نيوتن.متر.
2. قوة متجهها ق=(0،5) مؤثرة عند نقطة موضعها م=(4،0) بالنسبة لنقطة الأصل. احسب العزم باستخدام الصيغة عزم = م_س×ق_ص – م_ص×ق_س.
عرض الإجابة
العزم = (4×5) – (0×0) = 20 نيوتن.متر (موجب، عكس اتجاه الساعة).
3. قوة متجهها ق=(3،0) مؤثرة عند نقطة موضعها م=(0،2). احسب العزم.
عرض الإجابة
العزم = (0×0) – (2×3) = -6 نيوتن.متر (سالب، مع اتجاه الساعة).
4. قوة مقدارها 15 نيوتن تؤثر على ذراع طوله 2 متر، لكن بزاوية 90° (عمودية تمامًا). ما مقدار العزم؟
عرض الإجابة
العزم = 15 × 2 = 30 نيوتن.متر (أقصى عزم ممكن، لأن القوة عمودية تمامًا على الذراع).
5. إذا كان عزم قوة معينة يساوي -25 نيوتن.متر، ما اتجاه الدوران الناتج؟
عرض الإجابة
مع اتجاه دوران الساعة (العزم السالب يعني دورانًا مع اتجاه الساعة).
6. قوة متجهها ق=(2،3) مؤثرة عند نقطة موضعها م=(1،1). احسب العزم.
عرض الإجابة
العزم = (1×3) – (1×2) = 3-2 = 1 نيوتن.متر.
7. قوة مقدارها 8 نيوتن تؤثر على ذراع طوله 5 أمتار بزاوية تجعل الذراع العمودي الفعلي يساوي 4 أمتار فقط (وليس 5). ما مقدار العزم؟
عرض الإجابة
العزم = القوة × الذراع العمودي الفعلي = 8 × 4 = 32 نيوتن.متر (نستخدم الذراع العمودي الفعلي، لا الطول الكلي للذراع).
8. قوة متجهها ق=(-2،4) مؤثرة عند نقطة موضعها م=(3،0). احسب العزم.
عرض الإجابة
العزم = (3×4) – (0×(-2)) = 12 – 0 = 12 نيوتن.متر.
9. إذا تضاعف طول الذراع العمودي بين نقطة تأثير القوة ونقطة الارتكاز، مع بقاء القوة نفسها، ماذا يحدث لمقدار العزم؟
عرض الإجابة
يتضاعف العزم أيضًا (لأن العزم يتناسب طرديًا مع طول الذراع، عند ثبات القوة).
10. قوة متجهها ق=(1،-2) مؤثرة عند نقطة موضعها م=(0،5). احسب العزم.
عرض الإجابة
العزم = (0×(-2)) – (5×1) = 0-5 = -5 نيوتن.متر (مع اتجاه الساعة).
11. قوة مقدارها 12 نيوتن تؤثر بزاوية 30° على ذراع طوله 4 أمتار. ما مقدار الذراع العمودي الفعلي (استخدم جا30°=0.5)؟
عرض الإجابة
الذراع العمودي الفعلي = 4 × جا30° = 4 × 0.5 = 2 متر.
12. أكمل حل السؤال السابق: احسب العزم الناتج.
عرض الإجابة
العزم = 12 × 2 = 24 نيوتن.متر.