الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على إيجاد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا (غير محلولة بالنسبة لـ ص) باستخدام الاشتقاق الضمني.
شرح الدرس
ننتقل الآن من الهندسة الفراغية إلى باب جديد: الاشتقاق وتطبيقاته، بدءًا بحالة لم تُغطَّ في قواعد الاشتقاق المعتادة (السابقة لهذا الصف): الدوال المعطاة ضمنيًا، أي التي لا يمكن (أو يصعب) حلها للحصول على ص بدلالة س بشكل مباشر، مثل: س² + ص² = 25 أو س³ص² + صّ⁴ = س.
في هذه الحالات، نستخدم الاشتقاق الضمني: نشتق كل حد في المعادلة بالنسبة لـ س، مع تذكر أن ص دالة في س، وبالتالي نطبق قاعدة السلسلة عند اشتقاق أي حد يحتوي على ص، مضيفين معامل دص/دس بعد اشتقاق ذلك الحد.
مثال: لاشتقاق س² + ص² = 25 ضمنيًا، نشتق كل حد بالنسبة لـ س: 2س + 2ص(دص/دس) = 0 (لاحظ ظهور دص/دس بعد اشتقاق ص² بسبب قاعدة السلسلة، بينما اشتقاق العدد الثابت 25 يساوي صفرًا). نحل الآن للحصول على دص/دس: دص/دس = -س/ص.
عند وجود حدود تحتوي على حاصل ضرب س وص معًا (كما في س³ص²)، يجب استخدام قاعدة الضرب بالإضافة إلى قاعدة السلسلة أثناء الاشتقاق: مشتقة س³ص² بالنسبة لـ س = 3س²ص² + س³(2ص)(دص/دس) — حيث الحد الأول من اشتقاق س³ (مع ثبات ص)، والحد الثاني من اشتقاق ص² (مع ثبات س، مضروبًا في دص/دس بسبب قاعدة السلسلة). هذا المبدأ (معالجة ص كدالة في س عبر السلسلة) هو الأساس الذي يُبنى عليه الاشتقاق البارامتري، موضوع الدرس التالي.
أسئلة تدريبية
1. اشتق المعادلة س² + ص² = 16 ضمنيًا بالنسبة لـ س (بخلاف مثال الشرح =25).
عرض الإجابة
2س + 2ص(دص/دس) = 0.
2. من نتيجة السؤال السابق، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = -س/ص.
3. اشتق المعادلة س² – ص² = 9 ضمنيًا بالنسبة لـ س.
عرض الإجابة
2س – 2ص(دص/دس) = 0.
4. من نتيجة السؤال السابق، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = س/ص.
5. اشتق المعادلة 3س + 4ص = 12 ضمنيًا بالنسبة لـ س (معادلة خطية).
عرض الإجابة
3 + 4(دص/دس) = 0.
6. من نتيجة السؤال السابق، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = -3/4.
7. اشتق المعادلة صّ² = 4س ضمنيًا بالنسبة لـ س.
عرض الإجابة
2ص(دص/دس) = 4.
8. من نتيجة السؤال السابق، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = 4/(2ص) = 2/ص.
9. اشتق المعادلة سص = 6 ضمنيًا بالنسبة لـ س (تحتاج قاعدة الضرب).
عرض الإجابة
ص + س(دص/دس) = 0 (بتطبيق قاعدة الضرب على حد سص).
10. من نتيجة السؤال السابق، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = -ص/س.
11. اشتق المعادلة س³ + ص = 5 ضمنيًا بالنسبة لـ س.
عرض الإجابة
3س² + دص/دس = 0.
12. من نتيجة السؤال السابق، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = -3س².