الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على حساب التكامل المحدد باستخدام نظرية التكامل الأساسية، وتطبيقه على حساب المساحات بين المنحنيات.
شرح الدرس
يختتم هذا الباب (والكتاب) بموضوع التكامل المحدد، الذي يربط بين طرق إيجاد التكامل (غير المحدد) المدروسة في الدرسين السابقين وتطبيق عملي مباشر: حساب المساحات.
تنص نظرية التكامل الأساسية على أن التكامل المحدد للدالة د(س) من أ إلى ب يُحسب بإيجاد دالة أصلية (تكامل) للدالة، لتكن هـ(س)، ثم حساب: ∫[من أ إلى ب] د(س) دس = هـ(ب) – هـ(أ). بمعنى آخر: نطبق طرق التكامل (التعويض أو التجزيء، من الدروس السابقة) لإيجاد الدالة الأصلية، ثم نُعوّض بحدي التكامل ونطرح.
مثال: لحساب ∫[من 0 إلى 1] هـˣ دس، نجد الدالة الأصلية هـˣ (كما درسنا سابقًا)، ثم نُعوّض: هـ¹ – هـ⁰ = هـ – 1. لاحظ أن ثابت التكامل ث يُحذف تلقائيًا عند طرح القيمتين (لأنه يظهر في الحدين ويتلاشى)، وهذا فرق جوهري عن التكامل غير المحدد.
يمثل التكامل المحدد ∫[من أ إلى ب] د(س) دس هندسيًا المساحة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات، بين س=أ وس=ب (مع مراعاة أن المساحة الواقعة أسفل محور السينات تُحسب بقيمة سالبة في التكامل، فيجب أخذ القيمة المطلقة أو تقسيم المسافة عند تقاطع المنحنى مع المحور إذا أردنا المساحة الفعلية الموجبة). لإيجاد المساحة المحصورة بين منحنيين د(س) وهـ(س) بين نقطتي تقاطعهما، نحسب: ∫[من أ إلى ب] (د(س) – هـ(س)) دس، بشرط أن تكون د(س) أعلى من هـ(س) طوال الفترة — وهذا التطبيق الهندسي المباشر يُختم به الباب، موضحًا كيف تتكامل جميع أدوات الاشتقاق والتكامل المدروسة عبر هذا الكتاب في مسائل هندسية عملية متكاملة.
أسئلة تدريبية
1. احسب ∫[من 0 إلى 2] س دس (بخلاف مثال الشرح ∫[0,1]هـˣدس).
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س²/2؛ الناتج = (2²/2) – (0²/2) = 2 – 0 = 2.
2. احسب ∫[من 1 إلى 3] 2س دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س²؛ الناتج = 3² – 1² = 9 – 1 = 8.
3. احسب ∫[من 0 إلى 2] س² دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س³/3؛ الناتج = (8/3) – 0 = 8/3.
4. احسب ∫[من 0 إلى ln2] هـˣ دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: هـˣ؛ الناتج = هـ^(ln2) – هـ⁰ = 2 – 1 = 1.
5. احسب المساحة المحصورة بين المنحنى ص=س² ومحور السينات، بين س=0 وس=3.
عرض الإجابة
المساحة = ∫[من 0 إلى 3] س² دس = [س³/3] من 0 إلى 3 = 27/3 – 0 = 9 وحدة مربعة.
6. احسب ∫[من 1 إلى 4] (1/س) دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: لط|س|؛ الناتج = لط4 – لط1 = لط4 – 0 = لط4.
7. احسب المساحة المحصورة بين المنحنيين ص=س و ص=س² بين نقطتي تقاطعهما (س=0 وس=1).
عرض الإجابة
المساحة = ∫[من 0 إلى 1] (س – س²) دس = [س²/2 – س³/3] من 0 إلى 1 = (1/2-1/3) – 0 = 1/6 وحدة مربعة.
8. احسب ∫[من -1 إلى 1] س³ دس (لاحظ تناظر الدالة الفردية).
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س⁴/4؛ الناتج = (1/4) – (1/4) = 0 (متوقع، لأن س³ دالة فردية والحدود متناظرة حول الصفر).
9. احسب ∫[من 0 إلى 2] 3 دس (دالة ثابتة).
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: 3س؛ الناتج = 3(2) – 3(0) = 6.
10. احسب المساحة المحصورة بين المنحنى ص=4-س² ومحور السينات، بين نقطتي تقاطعه مع المحور (س=-2 وس=2).
عرض الإجابة
المساحة = ∫[من -2 إلى 2] (4-س²) دس = [4س – س³/3] من -2 إلى 2 = (8-8/3) – (-8+8/3) = 16 – 16/3 = 32/3 وحدة مربعة.
11. احسب ∫[من 0 إلى 1] (2س+1) دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س²+س؛ الناتج = (1+1) – (0+0) = 2.
12. احسب المساحة المحصورة بين المنحنيين ص=س² و ص=2س بين نقطتي تقاطعهما (س=0 وس=2).
عرض الإجابة
المساحة = ∫[من 0 إلى 2] (2س – س²) دس = [س² – س³/3] من 0 إلى 2 = (4-8/3) – 0 = 4/3 وحدة مربعة.