الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على تحويل العدد المركب من الصورة الجبرية إلى الصورة المثلثية (القطبية) والعكس.
شرح الدرس
ننتقل الآن من نظرية ذات الحدين إلى موضوع جديد في هذا الباب: الأعداد المركبة، وتحديدًا صورة تمثيلها المثلثية، التي تُبسّط كثيرًا من العمليات عليها (كما سيتضح في درس نظرية ديموافر التالي).
يُكتب العدد المركب في الصورة الجبرية على شكل: ع = أ + ب ت، حيث أ الجزء الحقيقي وب الجزء التخيلي وت = √(-1). يمكن تمثيل هذا العدد كنقطة في مستوى الأعداد المركبة (مستوى أرجاند)، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي.
في الصورة المثلثية (القطبية)، يُكتب العدد المركب بدلالة معياره وزاويته (سعته) بدلًا من جزأيه الحقيقي والتخيلي: ع = ر(جتا θ + ت جا θ)، حيث المعيار ر = |ع| = √(أ² + ب²) (المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة الممثلة للعدد)، والسعة θ هي الزاوية التي يصنعها المتجه الممثل للعدد مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي.
للتحويل من الصورة الجبرية إلى المثلثية: نحسب ر = √(أ² + ب²)، ثم نحسب θ باستخدام ظا θ = ب/أ (مع مراعاة الربع الذي تقع فيه النقطة لتحديد الزاوية الصحيحة). للتحويل العكسي: نحسب أ = ر جتا θ، وب = ر جا θ. مثال: العدد ع = 1 + ت √3 له معيار ر = √(1+3) = 2، وسعة θ = 60° (لأن ظا θ = √3)، فتكون صورته المثلثية: ع = 2(جتا 60° + ت جا 60°).
أسئلة تدريبية
1. احسب معيار العدد المركب ع = √3 + ت (بخلاف مثال الشرح 1 + ت√3).
عرض الإجابة
ر = √((√3)² + 1²) = √(3+1) = 2.
2. احسب سعة العدد ع = √3 + ت.
عرض الإجابة
ظا θ = 1/√3، إذن θ = 30°.
3. اكتب الصورة المثلثية للعدد ع = √3 + ت.
عرض الإجابة
2(جتا 30° + ت جا 30°).
4. حوّل العدد ع = 3(جتا 90° + ت جا 90°) إلى الصورة الجبرية.
عرض الإجابة
أ = 3جتا90° = 0، ب = 3جا90° = 3؛ إذن ع = 3ت.
5. احسب معيار العدد ع = -2 + 2ت.
عرض الإجابة
ر = √((-2)² + 2²) = √8 = 2√2.
6. العدد ع = -1 – ت√3 يقع في أي ربع من مستوى أرجاند؟
عرض الإجابة
الربع الثالث (الجزء الحقيقي سالب، والجزء التخيلي سالب).
7. احسب سعة العدد ع = -1 – ت√3 (احذر الربع عند تحديد الزاوية).
عرض الإجابة
ظا θ = √3، والزاوية المرجعية 60°؛ لكن العدد في الربع الثالث، فالسعة = 180°+60° = 240°.
8. حوّل العدد ع = 4(جتا 180° + ت جا 180°) إلى الصورة الجبرية.
عرض الإجابة
أ = 4×(-1) = -4، ب = 4×0 = 0؛ إذن ع = -4.
9. احسب معيار العدد ع = 5 (عدد حقيقي بحت).
عرض الإجابة
ر = √(5² + 0²) = 5.
10. ما سعة العدد ع = 5 (عدد حقيقي موجب بحت)؟
عرض الإجابة
θ = 0° (يقع على الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي مباشرة).
11. احسب معيار وسعة العدد ع = 2ت (عدد تخيلي بحت).
عرض الإجابة
ر = √(0²+2²) = 2؛ θ = 90° (يقع على المحور التخيلي الموجب مباشرة).
12. حوّل العدد ع = 6(جتا 270° + ت جا 270°) إلى الصورة الجبرية.
عرض الإجابة
أ = 6×0 = 0، ب = 6×(-1) = -6؛ إذن ع = -6ت.