الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على كتابة معادلة المستوى في الفراغ باستخدام متجه عمودي عليه ونقطة تقع فيه.
شرح الدرس
على عكس المستقيم (المدروس في الدرس السابق، والمحدد بنقطة ومتجه اتجاه موازٍ له)، يُحدَّد المستوى في الفراغ بمعرفة نقطة تقع فيه ومتجه عمودي عليه (يُسمى المتجه الناظمي) — وهذا فرق جوهري في طريقة التعريف يجب عدم الخلط بينه وبين المستقيم.
إذا كانت النقطة أ(س₀، ص₀، ع₀) تقع في المستوى، والمتجه الناظمي (العمودي على المستوى) هو ن = (أ، ب، ج)، فإن أي نقطة (س، ص، ع) تقع في المستوى تُحقق شرط تعامد المتجه الواصل من أ إلى هذه النقطة مع المتجه الناظمي ن — وباستخدام الضرب القياسي (المدروس سابقًا، حيث يساوي صفرًا عند التعامد)، نحصل على معادلة المستوى: أ(س-س₀) + ب(ص-ص₀) + ج(ع-ع₀) = 0، والتي تُبسَّط إلى الصورة العامة: أس + بص + جع + د = 0، حيث د ثابت.
يُلاحظ من هذه المعادلة أن معاملات س، ص، ع (أي أ، ب، ج) هي نفسها بالضبط مركبات المتجه الناظمي للمستوى — وهذه ملاحظة عملية مهمة: يمكن قراءة المتجه الناظمي لأي مستوى مباشرة من معادلته دون أي حسابات إضافية.
لإيجاد معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط معلومة (غير واقعة على استقامة واحدة)، نُكوّن أولًا متجهين واقعين في المستوى (من فروق إحداثيات النقاط)، ثم نحسب الضرب الاتجاهي بينهما (المدروس في درس سابق) لنحصل على المتجه الناظمي للمستوى، ثم نُطبّق المعادلة أعلاه باستخدام إحدى النقاط الثلاث.
أسئلة تدريبية
1. اكتب معادلة المستوى المار بالنقطة (1،2،3) وله متجه ناظمي (2،-1،1).
عرض الإجابة
2(س-1) – 1(ص-2) + 1(ع-3) = 0، وبالتبسيط: 2س – ص + ع – 3 = 0.
2. من معادلة المستوى 3س + 2ص – ع + 5 = 0، ما مركبات المتجه الناظمي؟
عرض الإجابة
(3، 2، -1).
3. اكتب المتجه الناظمي للمستوى س – 4ص + 2ع = 7.
عرض الإجابة
(1، -4، 2).
4. أوجد متجهين واقعين في مستوى يمر بالنقاط أ(0،0،0)، ب(1،0،0)، جـ(0،1،0).
عرض الإجابة
المتجه الأول أب=(1،0،0)، والمتجه الثاني أجـ=(0،1،0).
5. باستخدام الضرب الاتجاهي للمتجهين من السؤال السابق، أوجد المتجه الناظمي للمستوى المار بالنقاط الثلاث.
عرض الإجابة
الضرب الاتجاهي لـ(1،0،0)×(0،1،0) = (0،0،1) – وهذا المتجه الناظمي يعني أن المستوى هو ع=0 (مستوى سص).
6. اكتب معادلة المستوى المار بالنقطة (0،0،5) وله متجه ناظمي (0،0،1).
عرض الإجابة
0(س-0)+0(ص-0)+1(ع-5)=0، أي ع=5.
7. هل النقطة (2،3،-4) تقع على المستوى 2س – ص + ع + 5 = 0؟ (تحقق بالتعويض)
عرض الإجابة
2(2)-3+(-4)+5 = 4-3-4+5 = 2 ≠ 0، إذن النقطة لا تقع على المستوى.
8. اكتب معادلة المستوى المار بالنقطة (-1،2،0) وله متجه ناظمي (1،1,1).
عرض الإجابة
1(س+1)+1(ص-2)+1(ع-0)=0، وبالتبسيط: س+ص+ع-1=0.
9. من معادلة المستوى -س + 3ص – 2ع – 6 = 0، اكتب المتجه الناظمي.
عرض الإجابة
(-1، 3، -2).
10. هل النقطة (0،0،0) تقع على المستوى س+ص+ع-1=0؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
لا، لأن 0+0+0-1 = -1 ≠ 0.
11. أوجد متجهين واقعين في مستوى يمر بالنقاط أ(1،0،0)، ب(0،1،0)، جـ(0،0،1).
عرض الإجابة
المتجه الأول أب=(-1،1،0)، والمتجه الثاني أجـ=(-1،0،1).
12. اكتب معادلة المستوى الذي متجهه الناظمي (0،1،0) ويمر بالنقطة (3،7،2).
عرض الإجابة
0(س-3)+1(ص-7)+0(ع-2)=0، أي ص=7.