الهدف

بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة باستخدام اختبار المشتقة الأولى واختبار المشتقة الثانية.

شرح الدرس

بناءً على القيم الحرجة وفترات التزايد والتناقص المدروسة في الدرس السابق، تحدث القيم القصوى المحلية (العظمى أو الصغرى) عند نقاط معينة تتحول عندها الدالة من التزايد إلى التناقص أو العكس.

اختبار المشتقة الأولى: عند قيمة حرجة معينة، إذا تغيرت إشارة دص/دس من موجبة إلى سالبة (أي الدالة تتحول من متزايدة إلى متناقصة)، فإن هذه النقطة قيمة عظمى محلية. إذا تغيرت الإشارة من سالبة إلى موجبة، فإن النقطة قيمة صغرى محلية. إذا لم تتغير الإشارة، فلا توجد قيمة قصوى عند هذه النقطة.

اختبار المشتقة الثانية (طريقة أسرع غالبًا، تستخدم المشتقات العليا المدروسة في الباب السابق): عند قيمة حرجة تجعل دص/دس = 0، إذا كانت د²ص/دس² 0، فهي قيمة صغرى محلية (المنحنى مقعر لأعلى). إذا كانت د²ص/دس² = 0، فالاختبار غير حاسم، ويجب الرجوع لاختبار المشتقة الأولى.

مثال: للدالة ص = س³ – 3س من الدرس السابق، عند س = -1 تحولت الدالة من التزايد إلى التناقص، فتكون قيمة عظمى محلية؛ وعند س = 1 تحولت من التناقص إلى التزايد، فتكون قيمة صغرى محلية. بالتحقق بالمشتقة الثانية (د²ص/دس² = 6س): عند س=-1، د²ص/دس² = -6 (سالبة، تؤكد قيمة عظمى)؛ وعند س=1، د²ص/دس² = 6 (موجبة، تؤكد قيمة صغرى) — وهذا التوافق بين الاختبارين يُعد فحصًا مفيدًا لصحة الحل.

أسئلة تدريبية