الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على استخدام التفاضل والتكامل لإيجاد السرعة والتعجيل والإزاحة لجسم متحرك في خط مستقيم.
شرح الدرس
ننتقل الآن إلى باب الديناميكا (دراسة الأجسام المتحركة تحت تأثير القوى)، بادئين بالحركة في خط مستقيم، وتطبيق مباشر لأدوات التفاضل والتكامل المدروسة في الجزء البحت من هذا الكتاب على الكميات الحركية.
كما تمت الإشارة إليه في درس المشتقات العليا (باب الاشتقاق وتطبيقاته): إذا كانت س(ن) تمثل إزاحة جسم بدلالة الزمن ن، فإن السرعة ع = دس/دن (المشتقة الأولى للإزاحة)، والتعجيل (العجلة) ل = دع/دن = د²س/دن² (المشتقة الثانية للإزاحة، أو المشتقة الأولى للسرعة).
بالعكس، إذا عُلمت السرعة أو التعجيل بدلالة الزمن، نستخدم التكامل (العملية العكسية للاشتقاق، المدروسة في باب التكامل من الجزء البحت) لإيجاد الإزاحة أو السرعة: ع = ∫ل دن (بإضافة ثابت تكامل يُحدَّد من شرط ابتدائي، كالسرعة عند ن=0)، وس = ∫ع دن (بالمثل، بثابت يُحدَّد من موضع ابتدائي معلوم).
مثال: جسم يتحرك بتعجيل ل = 6ن (متر/ثانية²)، وسرعته الابتدائية (عند ن=0) تساوي 2 متر/ثانية. لإيجاد السرعة: ع = ∫6ن دن = 3ن² + ث. بالتعويض بالشرط الابتدائي (عند ن=0، ع=2): 2 = 0 + ث، فث=2. إذن ع = 3ن² + 2. لإيجاد الإزاحة (بافتراض الموضع الابتدائي صفرًا): س = ∫(3ن² + 2) دن = ن³ + 2ن + ث’، وبالشرط الابتدائي (عند ن=0، س=0): ث’=0، فس = ن³ + 2ن. يوضح هذا المثال كيف تعمل عمليتا الاشتقاق والتكامل معًا (وليس أحدهما فقط) في حل مسائل الحركة، وهو نمط يتكرر عبر بقية دروس هذا الباب.
أسئلة تدريبية
1. جسم يتحرك بتعجيل ل=4ن (بخلاف مثال الشرح ل=6ن)، وسرعته الابتدائية (عند ن=0) تساوي 3 م/ث. أوجد السرعة ع بدلالة الزمن.
عرض الإجابة
ع = ∫4ن دن = 2ن² + ث؛ بالشرط الابتدائي (ن=0،ع=3): ث=3؛ إذن ع=2ن²+3.
2. أكمل حل السؤال السابق: أوجد الإزاحة س بدلالة الزمن (بافتراض الموضع الابتدائي صفرًا).
عرض الإجابة
س = ∫(2ن²+3) دن = (2/3)ن³+3ن+ث’؛ بالشرط الابتدائي (ن=0،س=0): ث’=0؛ إذن س=(2/3)ن³+3ن.
3. جسم يتحرك بتعجيل ثابت ل=5 م/ث² (وليس دالة في الزمن)، وسرعته الابتدائية صفر. أوجد السرعة ع عند ن=4 ثوانٍ.
عرض الإجابة
ع = ∫5 دن = 5ن+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=0): ث=0؛ إذن ع=5ن؛ عند ن=4: ع=20 م/ث.
4. جسم يتحرك بتعجيل ل=2ن+1، وسرعته الابتدائية 0. أوجد صيغة السرعة ع.
عرض الإجابة
ع = ∫(2ن+1) دن = ن²+ن+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=0): ث=0؛ إذن ع=ن²+ن.
5. جسم سرعته معطاة بالصيغة ع=3ن²، وموضعه الابتدائي صفر. أوجد صيغة الإزاحة س.
عرض الإجابة
س = ∫3ن² دن = ن³+ث؛ بالشرط (ن=0،س=0): ث=0؛ إذن س=ن³.
6. لجسم تعجيله ل=6ن (كما في مثال الشرح)، لكن سرعته الابتدائية هذه المرة تساوي 5 (بدلًا من 2)، أوجد صيغة السرعة.
عرض الإجابة
ع = ∫6ن دن = 3ن²+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=5): ث=5؛ إذن ع=3ن²+5.
7. جسم يتحرك بتعجيل ثابت ل=10 م/ث²، وسرعته الابتدائية 2 م/ث. أوجد السرعة عند ن=3 ثوانٍ.
عرض الإجابة
ع = ∫10 دن = 10ن+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=2): ث=2؛ إذن ع=10ن+2؛ عند ن=3: ع=32 م/ث.
8. لجسم سرعته ع=4ن+1، وموضعه الابتدائي 2 (وليس صفرًا). أوجد صيغة الإزاحة س.
عرض الإجابة
س = ∫(4ن+1) دن = 2ن²+ن+ث’؛ بالشرط (ن=0،س=2): ث’=2؛ إذن س=2ن²+ن+2.
9. جسم تعجيله ل=3ن²، وسرعته الابتدائية صفر. أوجد صيغة السرعة ع.
عرض الإجابة
ع = ∫3ن² دن = ن³+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=0): ث=0؛ إذن ع=ن³.
10. في السؤال السابق، احسب قيمة السرعة عند ن=2 ثانية.
عرض الإجابة
ع = 2³ = 8 م/ث.
11. جسم يتحرك بتعجيل ل=8ن، وسرعته الابتدائية 1 م/ث. أوجد السرعة عند ن=1 ثانية.
عرض الإجابة
ع = ∫8ن دن = 4ن²+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=1): ث=1؛ إذن ع=4ن²+1؛ عند ن=1: ع=5 م/ث.
12. لجسم تعجيله ل=2 (ثابت)، وسرعته الابتدائية 6 م/ث، وموضعه الابتدائي صفر. أوجد صيغتي السرعة والإزاحة معًا.
عرض الإجابة
ع = ∫2 دن = 2ن+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=6): ث=6؛ إذن ع=2ن+6؛ س = ∫(2ن+6) دن = ن²+6ن+ث’؛ بالشرط (ن=0،س=0): ث’=0؛ إذن س=ن²+6ن.