الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على إيجاد حد معين (أو الحد المشتمل على قوة معينة) من مفكوك ذات الحدين دون كتابة المفكوك بالكامل.
شرح الدرس
بناءً على الصيغة العامة لنظرية ذات الحدين المدروسة في الدرس السابق، غالبًا لا يحتاج الطالب إلى كتابة المفكوك بالكامل، بل يكفي إيجاد حد معين منه — وهذا يوفر وقتًا كبيرًا خاصة عندما تكون ن كبيرة.
يُعطى الحد العام (الحد رقم ك+1) في مفكوك (س + ص)^ن بالصيغة: الحد (ك+1) = ⁿCₖ × س^(ن-ك) × صᵏ. لإيجاد حد معين (مثل الحد الخامس)، نُعوّض بالقيمة المناسبة لـ ك (الحد الخامس يعني ك = 4، لأن الترقيم يبدأ من ك = 0 عند الحد الأول).
لإيجاد الحد المشتمل على س^ك محددة (مثل إيجاد الحد المشتمل على س⁵ في مفكوك معين)، نُساوي أُس س في الصيغة العامة بالقوة المطلوبة، ونحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ك المطابقة، ثم نُعوّض بهذه القيمة في الصيغة لحساب الحد كاملًا (بما في ذلك معامله العددي).
مثال توضيحي: لإيجاد الحد المشتمل على س⁴ في مفكوك (س + 2)⁷، نكتب الحد العام: ⁷Cₖ × س^(7-ك) × 2ᵏ، ونساوي (7-ك) = 4، فنجد ك = 3. نُعوّض: ⁷C₃ × س⁴ × 2³ = 35 × 8 × س⁴ = 280س⁴ — وهو الحد المطلوب كاملًا، دون الحاجة لكتابة باقي حدود المفكوك السبعة.
أسئلة تدريبية
1. في مفكوك (س + 3)⁶، أوجد الحد المشتمل على س³ (بخلاف مثال الشرح (س+2)⁷).
عرض الإجابة
الحد العام: ⁶Cₖ س^(6-ك) 3ᵏ؛ نساوي 6-ك=3 فنجد ك=3؛ الحد = ⁶C₃ س³ 3³ = 20×27×س³ = 540س³.
2. في مفكوك (س + 1)⁸، أوجد الحد السادس.
عرض الإجابة
الحد السادس يقابل ك=5: ⁸C₅ س³ 1⁵ = 56س³.
3. في مفكوك (2س + 1)⁵، أوجد الحد المشتمل على س².
عرض الإجابة
نساوي 5-ك=2 فك=3؛ الحد = ⁵C₃ (2س)² (1)³ = 10 × 4س² × 1 = 40س².
4. في مفكوك (س – 1)⁶، أوجد الحد الرابع (احذر الإشارة السالبة).
عرض الإجابة
الحد الرابع يقابل ك=3: ⁶C₃ س³ (-1)³ = 20 × س³ × (-1) = -20س³.
5. في مفكوك (س + 4)⁴، ما قيمة ك المطلوبة لإيجاد الحد المشتمل على س؟
عرض الإجابة
نساوي 4-ك=1 فك=3.
6. أكمل حل السؤال السابق: احسب الحد المشتمل على س كاملًا.
عرض الإجابة
⁴C₃ س¹ 4³ = 4 × س × 64 = 256س.
7. في مفكوك (3 + س)⁵، أوجد الحد الخالي من س (الحد الثابت).
عرض الإجابة
يتحقق عندما أُس س = 0، أي ك=5: ⁵C₅ 3⁰ س⁵… تحقق أن الحد الثابت هنا هو عند حذف س تمامًا؛ بما أن الصورة (3+س)⁵ فالحد الثابت هو عند ك=0: ⁵C₀ 3⁵ = 243.
8. في مفكوك (س + 2)⁶، ما قيمة ك للحد السابع (الأخير)؟
عرض الإجابة
ك = 6 (آخر حد يقابل ك = ن).
9. في مفكوك (2س – 3)⁴، أوجد الحد الثالث.
عرض الإجابة
الحد الثالث يقابل ك=2: ⁴C₂ (2س)² (-3)² = 6 × 4س² × 9 = 216س².
10. في مفكوك (س + 5)⁷، بدون حساب كامل، اكتب فقط صيغة الحد المشتمل على س⁵.
عرض الإجابة
⁷C₂ س⁵ 5² (حيث ك=2 لأن 7-ك=5).
11. أكمل السؤال السابق: احسب قيمة هذا الحد كاملة.
عرض الإجابة
⁷C₂ = 21؛ الحد = 21 × س⁵ × 25 = 525س⁵.
12. في مفكوك (س – 2)⁵، أوجد الحد المشتمل على س² (احذر الإشارة).
عرض الإجابة
نساوي 5-ك=2 فك=3؛ الحد = ⁵C₃ س² (-2)³ = 10 × س² × (-8) = -80س².