الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على حل مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة، التي تربط بين معدلي تغير كميتين مرتبطتين بمعادلة رياضية.
شرح الدرس
يجمع هذا الدرس بين الاشتقاق الضمني (الدرس الأول من هذا الباب) وفكرة أن المتغيرات تتغير بمرور الزمن، لحل مسائل تطبيقية تسمى المعدلات الزمنية المرتبطة: عندما ترتبط كميتان (أو أكثر) بمعادلة رياضية، وتتغير كل منهما بمرور الزمن، فإن معدلي تغيرهما بالنسبة للزمن (ت) يكونان أيضًا مرتبطين بمعادلة يمكن اشتقاقها من المعادلة الأصلية.
خطوات الحل المعتادة: (1) تحديد المعادلة الرياضية التي تربط الكميات المعنية (غالبًا من هندسة الشكل في المسألة، كصيغة حجم أو مساحة). (2) اشتقاق طرفي المعادلة ضمنيًا بالنسبة للزمن ت (بتطبيق قاعدة السلسلة كما في الاشتقاق الضمني، لكن بالنسبة لـ ت هذه المرة، لا س). (3) التعويض بالقيم المعلومة عند اللحظة المطلوبة وحل المعادلة الناتجة لإيجاد المعدل المجهول.
مثال توضيحي: بالون كروي يتضخم بحيث يزداد حجمه بمعدل 100 سم³/ثانية. أوجد معدل تغير نصف قطره عندما يكون نصف القطر 5 سم. الحل: نبدأ من معادلة حجم الكرة ح = (4/3)π نق³، ونشتق طرفيها بالنسبة للزمن: دح/دت = 4π نق² × (دنق/دت). نعوض بالقيم المعلومة (دح/دت = 100، نق = 5): 100 = 4π(25)(دنق/دت)، ومنها: دنق/دت = 1/π سم/ثانية تقريبًا.
يوضح هذا المثال الأسلوب العام: المعادلة الهندسية الثابتة (حجم الكرة) تتحول، بالاشتقاق الضمني بالنسبة للزمن، إلى معادلة تربط بين معدلات التغير المختلفة عند أي لحظة زمنية محددة.
أسئلة تدريبية
1. مكعب يتمدد بحيث يزداد طول ضلعه بمعدل 2سم/ثانية. إذا كان طول الضلع حاليًا 5سم، احسب معدل تغير حجم المكعب (ح=ل³، بخلاف مثال البالون الكروي في الشرح).
عرض الإجابة
دح/دت = 3ل²×(دل/دت) = 3×25×2 = 150 سم³/ثانية.
2. سلم طوله 10 أمتار مستند إلى حائط، وقاعدته تنزلق مبتعدة عن الحائط بمعدل 1م/ثانية. إذا كانت المسافة الأفقية للقاعدة حاليًا 6 أمتار، ما العلاقة الأساسية بين المسافة الأفقية (س) والارتفاع الرأسي (ص) التي نبدأ منها؟
عرض الإجابة
س² + ص² = 10² = 100 (نظرية فيثاغورس، بما أن السلم طوله ثابت 10 أمتار).
3. أكمل حل مسألة السلم: اشتق المعادلة س²+ص²=100 ضمنيًا بالنسبة للزمن.
عرض الإجابة
2س(دس/دت) + 2ص(دص/دت) = 0.
4. في نفس مسألة السلم، إذا كانت س=6 (فيكون ص=8 من فيثاغورس)، ودس/دت=1، احسب دص/دت.
عرض الإجابة
2(6)(1) + 2(8)(دص/دت) = 0 → 12 + 16(دص/دت) = 0 → دص/دت = -12/16 = -3/4 م/ثانية (تناقص، أي ينزلق السلم لأسفل).
5. دائرة نصف قطرها يزداد بمعدل 3سم/ثانية. اكتب معادلة مساحة الدائرة اللازمة لهذه المسألة.
عرض الإجابة
م = π نق².
6. أكمل حل مسألة الدائرة: اشتق معادلة المساحة بالنسبة للزمن.
عرض الإجابة
دم/دت = 2π نق × (دنق/دت).
7. في نفس مسألة الدائرة، إذا كان نصف القطر حاليًا 4سم، احسب معدل تغير المساحة دم/دت.
عرض الإجابة
دم/دت = 2π(4)(3) = 24π سم²/ثانية.
8. مخروط يفرغ من الماء بحيث يقل ارتفاع الماء بمعدل ثابت. ما الخطوة الأولى في حل أي مسألة معدلات زمنية مرتبطة، بناءً على منهجية هذا الدرس؟
عرض الإجابة
تحديد المعادلة الرياضية التي تربط الكميات المعنية (هنا: معادلة حجم المخروط بدلالة الارتفاع ونصف القطر).
9. كرة يتمدد نصف قطرها بمعدل 0.5سم/ثانية. إذا كان نصف القطر حاليًا 3سم، احسب معدل تغير حجمها (ح=(4/3)πنق³).
عرض الإجابة
دح/دت = 4πنق²×(دنق/دت) = 4π(9)(0.5) = 18π سم³/ثانية.
10. مربع يتمدد بحيث يزداد طول ضلعه بمعدل 4سم/ثانية. إذا كان طول الضلع حاليًا 10سم، احسب معدل تغير مساحته (م=ل²).
عرض الإجابة
دم/دت = 2ل×(دل/دت) = 2(10)(4) = 80 سم²/ثانية.
11. في مسألة البالون الكروي حيث دح/دت=100 سم³/ثانية ونق=5سم (كما في الشرح)، ما معادلة الحجم المستخدمة أصلًا؟
عرض الإجابة
ح = (4/3)π نق³.
12. أعد التحقق من نتيجة مثال البالون في الشرح: بالتعويض في 100=4π(25)(دنق/دت)، احسب دنق/دت.
عرض الإجابة
دنق/دت = 100/(100π) = 1/π سم/ثانية.