الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على تحديد موقع نقطة في الفراغ باستخدام النظام الإحداثي الديكارتي ثلاثي الأبعاد، وحساب المسافة بين نقطتين في الفراغ.
شرح الدرس
ننتقل الآن إلى موضوع جديد في هذا الباب: الهندسة الفراغية، بدءًا بتوسيع النظام الإحداثي الديكارتي المألوف (في المستوى ثنائي الأبعاد) إلى الفراغ ثلاثي الأبعاد.
يتكون النظام الإحداثي في الفراغ من ثلاثة محاور متعامدة تتقاطع في نقطة الأصل: محور السينات (س)، ومحور الصادات (ص)، ومحور العينات (ع). تُحدَّد أي نقطة في الفراغ بثلاثي مرتب (س، ص، ع)، يمثل كل عنصر فيه إسقاط النقطة على المحور المقابل.
تُقسّم المحاور الفراغ إلى ثمانية أقسام تسمى الثمانيات، بحسب إشارات الإحداثيات الثلاثة (موجب/سالب لكل محور). كذلك تتكون المستويات الإحداثية الثلاثة الأساسية من أي محورين معًا: مستوى سص (حيث ع=0)، ومستوى صع (حيث س=0)، ومستوى سع (حيث ص=0).
تُحسب المسافة بين نقطتين (س₁، ص₁، ع₁) و(س₂، ص₂، ع₂) في الفراغ بصيغة توسيع مباشر لنظرية فيثاغورس المألوفة في المستوى: المسافة = √[(س₂-س₁)² + (ص₂-ص₁)² + (ع₂-ع₁)²]. هذه الصيغة هي حجر الأساس الذي تُبنى عليه دراسة المتجهات في الفراغ، موضوع الدرس التالي.
أسئلة تدريبية
1. احسب المسافة بين النقطتين (1،1،1) و(4،5،1) (بخلاف مثال الشرح).
عرض الإجابة
المسافة = √((4-1)²+(5-1)²+(1-1)²) = √(9+16+0) = √25 = 5.
2. احسب المسافة بين النقطتين (2،0،0) و(0،3،4).
عرض الإجابة
المسافة = √((0-2)²+(3-0)²+(4-0)²) = √(4+9+16) = √29.
3. هل النقطة (3،-2،5) تقع في مستوى سص؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
لا، لأن شرط الوقوع في مستوى سص هو ع=0، وهنا ع=5≠0.
4. هل النقطة (0،4،-1) تقع في مستوى صع؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
نعم، لأن شرط الوقوع في مستوى صع هو س=0، وهنا س=0 بالفعل.
5. في أي ثمانية تقع النقطة (-2،3،-4) (بحسب إشارات الإحداثيات)؟
عرض الإجابة
الثمانية التي فيها س سالب، ص موجب، ع سالب.
6. احسب المسافة بين النقطتين (-1،-1،-1) و(2،3,-1).
عرض الإجابة
المسافة = √((2-(-1))²+(3-(-1))²+(-1-(-1))²) = √(9+16+0) = 5.
7. ما إحداثيات نقطة تقع على المحور س نفسه (ليس فقط في مستوى)، على بعد 5 وحدات من الأصل في الاتجاه الموجب؟
عرض الإجابة
(5،0،0).
8. احسب المسافة بين النقطة (0،0،0) والنقطة (3،4،12).
عرض الإجابة
المسافة = √(3²+4²+12²) = √(9+16+144) = √169 = 13.
9. هل النقطة (5،0،0) تقع على المحور س، أم في مستوى سص فقط؟
عرض الإجابة
تقع على المحور س نفسه (تحقق شرطي ص=0 وع=0 معًا، وهو شرط أقوى من مجرد الوقوع في مستوى سص الذي يتطلب ع=0 فقط).
10. احسب المسافة بين النقطتين (1،2،3) و(1،2،8).
عرض الإجابة
المسافة = √(0²+0²+5²) = 5 (تختلف النقطتان في إحداثي ع فقط).
11. في أي ثمانية تقع النقطة (1،1،1)؟
عرض الإجابة
الثمانية التي فيها جميع الإحداثيات موجبة (الثمانية الأولى).
12. احسب المسافة بين النقطتين (2،2،1) و(5،6،1) (لاحظ تساوي إحداثي ع).
عرض الإجابة
المسافة = √((5-2)²+(6-2)²+(1-1)²) = √(9+16+0) = 5.