الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على إيجاد مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية الأساسية والمركبة باستخدام قاعدة السلسلة.
شرح الدرس
يتناول هذا الدرس فئة مهمة جدًا من الدوال تظهر بكثرة في التطبيقات الرياضية والعلمية: الدوال الأسية واللوغاريتمية، بادئين بصيغ مشتقاتها الأساسية.
لدالة الأس الطبيعي: مشتقة هـˣ = هـˣ (خاصية فريدة: الدالة تساوي مشتقتها بالضبط). لدالة اللوغاريتم الطبيعي: مشتقة لط(س) = 1/س. لدالة الأس بقاعدة أخرى (أ): مشتقة أˣ = أˣ × لط(أ) (حيث لط(أ) هو اللوغاريتم الطبيعي للقاعدة أ، وهو ثابت مضروب إضافي مقارنة بحالة هـˣ).
عند تطبيق هذه الصيغ على دوال مركبة (أي عندما يكون الأس أو الوسيط نفسه دالة في س، لا مجرد س)، يجب تطبيق قاعدة السلسلة (المستخدمة أيضًا في الاشتقاق الضمني والبارامتري من الدروس السابقة): مشتقة هـ^د(س) = هـ^د(س) × د'(س)، ومشتقة لط(د(س)) = د'(س)/د(س).
مثال 1: مشتقة هـ^(3س²) = هـ^(3س²) × 6س (حيث د(س) = 3س²، ود'(س) = 6س). مثال 2: مشتقة لط(س² + 1) = 2س/(س² + 1) (حيث د(س) = س² + 1، ود'(س) = 2س). تتكرر هذه الأنماط بشكل متكرر في دروس هذا الباب اللاحقة (المعدلات الزمنية المرتبطة) وفي دروس التكامل التالية في هذا الكتاب (تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية)، حيث يُطبَّق مبدأ مماثل بالعكس.
أسئلة تدريبية
1. احسب مشتقة هـ^(5س) (بخلاف مثال الشرح هـ^(3س²)).
عرض الإجابة
مشتقة هـ^(5س) = هـ^(5س) × 5 = 5هـ^(5س).
2. احسب مشتقة هـ^(س³).
عرض الإجابة
مشتقة هـ^(س³) = هـ^(س³) × 3س² = 3س²هـ^(س³).
3. احسب مشتقة لط(4س).
عرض الإجابة
مشتقة لط(4س) = 4/(4س) = 1/س.
4. احسب مشتقة لط(س³ + 2).
عرض الإجابة
مشتقة لط(س³+2) = 3س²/(س³+2).
5. احسب مشتقة هـ^(-2س).
عرض الإجابة
مشتقة هـ^(-2س) = هـ^(-2س) × (-2) = -2هـ^(-2س).
6. احسب مشتقة لط(5س – 1).
عرض الإجابة
مشتقة لط(5س-1) = 5/(5س-1).
7. احسب مشتقة 2هـˣ (ثابت مضروب في الدالة).
عرض الإجابة
مشتقة 2هـˣ = 2هـˣ.
8. احسب مشتقة هـ^(س² + س).
عرض الإجابة
مشتقة هـ^(س²+س) = هـ^(س²+س) × (2س+1).
9. احسب مشتقة لط(س² – 4).
عرض الإجابة
مشتقة لط(س²-4) = 2س/(س²-4).
10. احسب مشتقة 3^س (قاعدة عامة أ=3).
عرض الإجابة
مشتقة 3^س = 3^س × لط(3).
11. احسب مشتقة هـ^(7-2س).
عرض الإجابة
مشتقة هـ^(7-2س) = هـ^(7-2س) × (-2) = -2هـ^(7-2س).
12. احسب مشتقة لط(2س² + 3س).
عرض الإجابة
مشتقة لط(2س²+3س) = (4س+3)/(2س²+3س).