الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على حساب الشغل المبذول بواسطة قوة، وتطبيق مبدأ حفظ الطاقة الميكانيكية.
شرح الدرس
بعد دراسة الدفع في الدرس السابق، يتناول هذا الدرس مفهومين مرتبطين، يُستخدمان بشكل واسع كأسلوب بديل (وغالبًا أبسط) لحل مسائل الحركة، بدلًا من التطبيق المباشر لقانون نيوتن الثاني.
الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة ق تُحرّك جسمًا مسافة إز في اتجاه القوة يُعرَّف بأنه: شغل = ق × إز (أو ق × إز × جتا θ إذا كانت القوة تصنع زاوية θ مع اتجاه الحركة، مستخدمًا مبدأ الضرب القياسي بين المتجهين المدروس في باب الهندسة الفراغية). عندما تكون القوة متغيرة بدلالة الموضع (كما في درس حركة الأجسام متغيرة العجلة)، يُحسب الشغل بالتكامل: شغل = ∫[من س₁ إلى س₂] ق(س) دس.
الطاقة هي القدرة على بذل شغل، وتوجد بصورتين أساسيتين في الميكانيكا: طاقة الحركة = (1/2) ك ع² (تعتمد على سرعة الجسم)، وطاقة الوضع = ك جـ هـ (تعتمد على ارتفاع الجسم هـ عن مستوى مرجعي، حيث جـ عجلة الجذب الأرضي).
تنص نظرية الشغل والطاقة على أن الشغل الكلي المبذول على جسم يساوي التغير في طاقة حركته: شغل = (1/2)ك ع₂² – (1/2)ك ع₁². وينص مبدأ حفظ الطاقة الميكانيكية (في غياب قوى مقاومة كالاحتكاك) على أن مجموع طاقتي الحركة والوضع يبقى ثابتًا طوال الحركة: (1/2)ك ع² + ك جـ هـ = ثابت. هذا يعني أنه عندما يفقد الجسم ارتفاعًا (تقل طاقة وضعه)، تزداد سرعته (تزداد طاقة حركته) بمقدار مكافئ تمامًا، والعكس صحيح — وهذا المبدأ يوفر غالبًا طريقة أسرع لحل مسائل معينة (كإيجاد السرعة عند نقطة معينة دون حساب التعجيل والزمن تفصيليًا) مقارنة بالتطبيق المباشر لقانون نيوتن الثاني المستخدم في الدروس السابقة من هذا الباب.
أسئلة تدريبية
1. قوة مقدارها 20 نيوتن تحرك جسمًا مسافة 5 أمتار في اتجاه القوة نفسه (بخلاف أي مثال آخر). احسب الشغل المبذول.
عرض الإجابة
الشغل = ق×إز = 20×5 = 100 جول.
2. قوة مقدارها 15 نيوتن تصنع زاوية 60° مع اتجاه حركة جسم يتحرك مسافة 4 أمتار (خذ جتا60°=0.5). احسب الشغل المبذول.
عرض الإجابة
الشغل = ق×إز×جتا60° = 15×4×0.5 = 30 جول.
3. جسم كتلته 2 كجم يتحرك بسرعة 5 م/ث. احسب طاقة حركته.
عرض الإجابة
طاقة الحركة = (1/2)ك ع² = (1/2)×2×25 = 25 جول.
4. جسم كتلته 3 كجم يقع على ارتفاع 4 أمتار عن سطح مرجعي (خذ جـ=10م/ث²). احسب طاقة وضعه.
عرض الإجابة
طاقة الوضع = ك جـ هـ = 3×10×4 = 120 جول.
5. جسم كتلته 4 كجم، سرعته الابتدائية 2 م/ث وسرعته النهائية 6 م/ث بعد بذل شغل عليه. احسب هذا الشغل باستخدام نظرية الشغل والطاقة.
عرض الإجابة
الشغل = (1/2)ك ع₂² – (1/2)ك ع₁² = (1/2)(4)(36) – (1/2)(4)(4) = 72-8 = 64 جول.
6. جسم كتلته 5 كجم يسقط من ارتفاع 8 أمتار (خذ جـ=10م/ث²). باستخدام مبدأ حفظ الطاقة الميكانيكية، احسب سرعته عند الوصول لسطح الأرض (بافتراض بدء السقوط من السكون).
عرض الإجابة
طاقة الوضع الابتدائية = طاقة الحركة النهائية؛ ك جـ هـ = (1/2)ك ع²؛ 10×8 = (1/2)ع²؛ ع²=160؛ ع=√160 ≈ 12.65 م/ث.
7. قوة مقدارها 30 نيوتن تصنع زاوية 0° (في نفس اتجاه الحركة تمامًا) مع جسم يتحرك مسافة 3 أمتار. احسب الشغل.
عرض الإجابة
الشغل = 30×3×جتا0° = 30×3×1 = 90 جول.
8. جسم كتلته 6 كجم يتحرك بسرعة 4 م/ث على سطح أفقي، ثم يتوقف تمامًا بفعل الاحتكاك. احسب الشغل الذي بذلته قوة الاحتكاك (باستخدام نظرية الشغل والطاقة).
عرض الإجابة
الشغل = (1/2)ك ع₂² – (1/2)ك ع₁² = 0 – (1/2)(6)(16) = -48 جول (سالب، لأن الاحتكاك يبذل شغلًا معاكسًا لاتجاه الحركة).
9. جسم كتلته 2 كجم يقع على ارتفاع 5 أمتار، وله أيضًا سرعة 3 م/ث في تلك اللحظة (خذ جـ=10م/ث²). احسب الطاقة الميكانيكية الكلية (مجموع طاقتي الحركة والوضع).
عرض الإجابة
طاقة الحركة = (1/2)(2)(9)=9 جول؛ طاقة الوضع = 2×10×5=100 جول؛ الطاقة الكلية = 9+100=109 جول.
10. قوة مقدارها 25 نيوتن تصنع زاوية 90° (عمودية تمامًا) مع اتجاه حركة جسم. احسب الشغل المبذول.
عرض الإجابة
الشغل = 25×إز×جتا90° = 25×إز×0 = صفر (لا يوجد شغل عندما تكون القوة عمودية تمامًا على اتجاه الحركة).
11. جسم كتلته 1 كجم يسقط سقوطًا حرًا من ارتفاع 20 مترًا (خذ جـ=10م/ث²). احسب سرعته عند منتصف المسافة (ارتفاع 10 أمتار) باستخدام حفظ الطاقة.
عرض الإجابة
عند الارتفاع الأصلي (20م): الطاقة الكلية = ك جـ هـ = 1×10×20=200 جول (طاقة حركة ابتدائية=صفر)؛ عند ارتفاع 10م: طاقة الوضع المتبقية=1×10×10=100 جول؛ طاقة الحركة=200-100=100 جول؛ (1/2)(1)ع²=100؛ ع²=200؛ ع=√200≈14.14 م/ث.
12. جسم كتلته 3 كجم، سرعته الابتدائية 5 م/ث وسرعته النهائية 1 م/ث (تباطؤ) بعد بذل شغل عليه. احسب هذا الشغل.
عرض الإجابة
الشغل = (1/2)(3)(1) – (1/2)(3)(25) = 1.5 – 37.5 = -36 جول (سالب، لأن السرعة تناقصت).