الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على تحليل حركة جسمين متصلين بخيط عبر بكرة، وإيجاد تعجيلهما المشترك وشد الخيط بينهما.
شرح الدرس
بعد دراسة حركة الجسم المفرد في الدرسين السابقين، يتناول هذا الدرس حالة تطبيقية مهمة جدًا في الديناميكا: الأجسام المتصلة، وأشهر نموذج لها: جسمان معلقان بخيط غير مرن يمر عبر بكرة ثابتة (نظام يُعرف أحيانًا بـ”نظام أتوود”).
الفرضيات المبسِّطة المعتادة في هذه المسائل: الخيط غير قابل للتمدد (وبالتالي، مقدار تعجيل الجسمين متساوٍ دائمًا، رغم اختلاف اتجاهيهما – أحدهما يتحرك للأعلى والآخر للأسفل بنفس المقدار)، وكتلة الخيط والبكرة تُهمل، والبكرة عديمة الاحتكاك (وبالتالي شد الخيط له نفس المقدار في كل جزء منه).
خطوات الحل: نطبق قانون نيوتن الثاني (ق = ك ل) بشكل مستقل على كل جسم من الجسمين، مع مراعاة اتجاه الحركة المتوقع لكل منهما. للجسم الأثقل (كتلته ك₁، يتحرك للأسفل): ك₁ ×جـ – ش = ك₁ × ل (حيث جـ عجلة الجذب الأرضي، وش شد الخيط، وهما يتعارضان مع حركته للأسفل). للجسم الأخف (كتلته ك₂، يتحرك للأعلى): ش – ك₂ ×جـ = ك₂ × ل (حيث الشد يسحبه للأعلى، ووزنه يعارض ذلك).
بجمع هاتين المعادلتين (لحذف ش)، نحصل على: (ك₁-ك₂)جـ = (ك₁+ك₂)ل، ومنها: ل = (ك₁-ك₂)جـ ÷ (ك₁+ك₂). بالتعويض بهذا التعجيل في أي من المعادلتين الأصليتين، نحصل على قيمة شد الخيط ش. هذا النمط — كتابة معادلة نيوتن الثاني لكل جسم على حدة، ثم حل المعادلتين معًا — هو الأسلوب العام المتبع في جميع مسائل الأجسام المتصلة، بما فيها الحالات الأكثر تعقيدًا (كوجود سطح مائل أو أكثر من بكرة).
أسئلة تدريبية
1. جسمان متصلان بخيط عبر بكرة، كتلتاهما 5 كجم و3 كجم (بخلاف أي مثال آخر). خذ جـ=10م/ث² لتبسيط الحساب. احسب التعجيل المشترك ل.
عرض الإجابة
ل = (ك₁-ك₂)جـ/(ك₁+ك₂) = (5-3)×10/(5+3) = 20/8 = 2.5 م/ث².
2. أكمل حل السؤال السابق: احسب شد الخيط ش، باستخدام معادلة الجسم الأخف (ش – ك₂جـ = ك₂ل).
عرض الإجابة
ش – 3×10 = 3×2.5؛ ش – 30 = 7.5؛ ش = 37.5 نيوتن.
3. جسمان كتلتاهما 6 كجم و4 كجم، متصلان بخيط عبر بكرة (جـ=10م/ث²). احسب التعجيل المشترك.
عرض الإجابة
ل = (6-4)×10/(6+4) = 20/10 = 2 م/ث².
4. أكمل حل السؤال السابق: احسب شد الخيط باستخدام معادلة الجسم الأثقل (ك₁جـ – ش = ك₁ل).
عرض الإجابة
6×10 – ش = 6×2؛ 60 – ش = 12؛ ش = 48 نيوتن.
5. جسمان كتلتاهما متساويتان تمامًا (كل منهما 5 كجم)، متصلان بخيط عبر بكرة. ماذا يتوقع أن يكون التعجيل المشترك؟
عرض الإجابة
صفر (ل=(5-5)×جـ/(5+5)=0)، لأن تساوي الكتلتين يعني عدم وجود قوة محصلة صافية تحرك النظام.
6. في حالة تساوي الكتلتين (السؤال السابق)، ما القيمة المتوقعة لشد الخيط، ولماذا؟
عرض الإجابة
شد الخيط = ك×جـ = 5×10=50 نيوتن لكل جسم (يساوي وزن كل منهما بالضبط، لأن النظام في حالة اتزان ساكن دون تسارع).
7. جسمان كتلتاهما 8 كجم و2 كجم، متصلان بخيط عبر بكرة. احسب التعجيل المشترك.
عرض الإجابة
ل = (8-2)×10/(8+2) = 60/10 = 6 م/ث².
8. أكمل حل السؤال السابق: احسب شد الخيط باستخدام معادلة الجسم الأخف.
عرض الإجابة
ش – 2×10 = 2×6؛ ش – 20 = 12؛ ش = 32 نيوتن.
9. جسمان كتلتاهما 7 كجم و1 كجم (فرق كبير جدًا بين الكتلتين)، متصلان بخيط عبر بكرة. احسب التعجيل المشترك، ولاحظ قربه من قيمة جـ.
عرض الإجابة
ل = (7-1)×10/(7+1) = 60/8 = 7.5 م/ث² (قريب نسبيًا من جـ=10، لأن الفرق الكبير بين الكتلتين يجعل النظام أقرب لسقوط حر).
10. ما الفرضية الأساسية التي تجعل تعجيل الجسمين متساويًا في المقدار رغم اختلاف اتجاه حركة كل منهما (أحدهما لأعلى والآخر لأسفل)؟
عرض الإجابة
فرضية أن الخيط غير قابل للتمدد، مما يربط حركة الجسمين بنفس المقدار دائمًا، رغم اختلاف اتجاهيهما.
11. جسمان كتلتاهما 10 كجم و6 كجم، متصلان بخيط عبر بكرة. احسب التعجيل المشترك.
عرض الإجابة
ل = (10-6)×10/(10+6) = 40/16 = 2.5 م/ث².
12. أكمل حل السؤال السابق: احسب شد الخيط باستخدام معادلة الجسم الأثقل.
عرض الإجابة
10×10 – ش = 10×2.5؛ 100 – ش = 25؛ ش = 75 نيوتن.