الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على تطبيق قانون نيوتن الثاني للحركة على حالات القوة أو الكتلة المتغيرة بدلالة الزمن أو الموضع.
شرح الدرس
بعد دراسة العلاقات الأساسية بين الإزاحة والسرعة والتعجيل في الدرس السابق، يتناول هذا الدرس تطبيقات قانون نيوتن الثاني للحركة (ق = ك × ل، القوة تساوي الكتلة مضروبة في التعجيل) في حالات تكون فيها القوة أو التعجيل غير ثابتة، بل متغيرة بدلالة الزمن أو الموضع.
عندما تكون القوة (أو التعجيل) دالة في الزمن ن، نتبع نفس أسلوب الدرس السابق: نُكوّن معادلة تفاضلية من قانون نيوتن الثاني، ثم نُكامل بالنسبة للزمن لإيجاد السرعة، ثم مرة أخرى لإيجاد الإزاحة، مستخدمين الشروط الابتدائية لتحديد ثوابت التكامل.
عندما تكون القوة (أو التعجيل) دالة في الموضع س (لا الزمن مباشرة)، يصعب التكامل المباشر بالنسبة للزمن، فنستخدم حيلة جبرية مهمة تعتمد على قاعدة السلسلة: ل = دع/دن = (دع/دس)(دس/دن) = ع(دع/دس) — أي نُعبّر عن التعجيل بدلالة السرعة وموضعها من خلال قاعدة السلسلة (نفس القاعدة المستخدمة في الاشتقاق الضمني والبارامتري من الجزء البحت)، مما يحوّل المعادلة إلى معادلة تفصل فيها متغيرا ع وس، ويمكن تكاملها مباشرة بالنسبة لـ س.
مثال: جسم كتلته 2 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ق = 4س نيوتن (تعتمد على الموضع). بقانون نيوتن الثاني: 2ل = 4س، فل = 2س. باستخدام الحيلة أعلاه: ع(دع/دس) = 2س. بفصل المتغيرين وتكامل الطرفين: ∫ع دع = ∫2س دس، فنحصل على ع²/2 = س² + ث. إذا عُلم أن السرعة تساوي صفرًا عند س=0، فث=0، وبالتالي ع² = 2س² (علاقة بين السرعة والموضع، دون الحاجة لمعرفة الزمن مباشرة) — وهذا التمييز بين “دالة في الزمن” و”دالة في الموضع” هو المفهوم المحوري لهذا الدرس.
أسئلة تدريبية
1. جسم كتلته 3 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ق=6س نيوتن (بخلاف مثال الشرح كتلة 2كجم، ق=4س). احسب التعجيل ل بدلالة الموضع س.
عرض الإجابة
من قانون نيوتن الثاني: 3ل=6س، فل=2س.
2. أكمل حل السؤال السابق: باستخدام الحيلة الجبرية ل=ع(دع/دس)، اكتب المعادلة بعد فصل المتغيرين.
عرض الإجابة
ع دع = 2س دس.
3. أكمل الحل: بتكامل الطرفين وبافتراض ع=0 عند س=0، أوجد العلاقة بين ع وس.
عرض الإجابة
∫ع دع = ∫2س دس؛ ع²/2 = س²+ث؛ بالشرط (س=0،ع=0): ث=0؛ إذن ع²=2س².
4. جسم كتلته 5 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ق=10س نيوتن. احسب التعجيل ل بدلالة س.
عرض الإجابة
من نيوتن الثاني: 5ل=10س، فل=2س.
5. أكمل حل السؤال السابق: بافتراض ع=3 عند س=0 (سرعة ابتدائية غير صفرية هذه المرة)، أوجد العلاقة بين ع وس.
عرض الإجابة
ع دع = 2س دس؛ ∫ع دع=∫2س دس؛ ع²/2=س²+ث؛ بالشرط (س=0،ع=3): 9/2=0+ث، فث=4.5؛ إذن ع²/2=س²+4.5، أي ع²=2س²+9.
6. جسم كتلته 4 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ثابتة (لا تعتمد على الموضع أو الزمن) مقدارها 20 نيوتن. احسب التعجيل مباشرة.
عرض الإجابة
من نيوتن الثاني: 4ل=20، فل=5 م/ث² (تعجيل ثابت، لا حاجة للحيلة الجبرية هنا لأن القوة ثابتة).
7. جسم كتلته 2 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ق=8س نيوتن. احسب ل بدلالة س.
عرض الإجابة
من نيوتن الثاني: 2ل=8س، فل=4س.
8. أكمل حل السؤال السابق: بافتراض ع=0 عند س=0، أوجد العلاقة بين ع وس.
عرض الإجابة
ع دع = 4س دس؛ ع²/2=2س²+ث؛ بالشرط: ث=0؛ إذن ع²=4س².
9. من نتيجة السؤال السابق (ع²=4س²)، احسب قيمة ع عند س=3 (خذ الجذر الموجب).
عرض الإجابة
ع² = 4×9=36؛ ع=6 م/ث.
10. متى تحديدًا نحتاج لاستخدام الحيلة الجبرية ل=ع(دع/دس) بدلًا من التكامل المباشر بالنسبة للزمن؟
عرض الإجابة
عندما تكون القوة (والتعجيل الناتج) دالة في الموضع س، لا في الزمن مباشرة، مما يصعّب التكامل المباشر بالنسبة للزمن.
11. جسم كتلته 1 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ق=2س نيوتن. احسب ل بدلالة س، ثم أوجد العلاقة بين ع وس بافتراض ع=2 عند س=0.
عرض الإجابة
ل=2س (من نيوتن الثاني، الكتلة=1)؛ ع دع=2س دس؛ ع²/2=س²+ث؛ بالشرط (ع=2عندس=0): 4/2=0+ث، ث=2؛ إذن ع²=4س²+4.
12. من نتيجة السؤال السابق، احسب ع عند س=0 للتحقق من الشرط الابتدائي.
عرض الإجابة
ع² = 4(0)+4=4؛ ع=2 (يتطابق مع الشرط الابتدائي المعطى، مما يؤكد صحة الحل).