الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على حل مسائل تطبيقية متكاملة تجمع بين العزوم والمحصلة والاتزان والازدواجات، المدروسة عبر هذا الباب.
شرح الدرس
يُختتم باب الاستاتيكا بدرس تطبيقي يجمع بين جميع المفاهيم المدروسة عبر دروسه: العزوم (الدرس الأول)، محصلة القوى المتوازية (الدرس الثاني)، شروط الاتزان (الدرس الثالث)، والازدواجات (الدرسان الأخيران).
مسألة نموذجية شائعة: عارضة (لوح) أفقية طولها 6 متر، محكومة الارتكاز عند نقطتين (أ عند أحد طرفيها، وب على مسافة 4 متر من أ)، ويؤثر عليها حمل رأسي مقداره 100 نيوتن عند نقطة تقع على مسافة 2 متر من أ، وحمل آخر 50 نيوتن عند الطرف الآخر (على مسافة 6 متر من أ). المطلوب: إيجاد ردود الأفعال عند نقطتي الارتكاز أ وب.
خطوات الحل، مطبِّقين شروط الاتزان الثلاثة (المدروسة في الدرس الثالث): بما أن جميع القوى رأسية، فالشرط الأول (مجـ ق_س = 0) يتحقق تلقائيًا. نطبق الشرط الثالث (مجـ عزم = 0) بأخذ العزوم حول نقطة أ (لحذف رد الفعل عند أ من المعادلة، وهو تطبيق مباشر لمبدأ اختيار نقطة العزم المناسبة من درس الاتزان): رد الفعل عند ب × 4 = 100×2 + 50×6، فنحصل على رد الفعل عند ب = 125 نيوتن. ثم نطبق الشرط الثاني (مجـ ق_ص = 0): رد الفعل عند أ + 125 = 100 + 50، فنحصل على رد الفعل عند أ = 25 نيوتن.
يوضح هذا المثال المتكامل كيف تُستخدم أداة العزم (الدرس الأول) كأداة حسابية عملية داخل إطار شروط الاتزان الكاملة (الدرس الثالث) لحل مسألة هندسية إنشائية حقيقية — وهو نمط أساسي من المسائل يتكرر بصور مختلفة (جسور، سلالم، روافع) في تطبيقات الاستاتيكا الهندسية.
أسئلة تدريبية
1. عارضة أفقية طولها 8 أمتار، مرتكزة عند نقطتين: أ (طرف) وب (على بعد 5 أمتار من أ). يؤثر عليها حمل رأسي 80 نيوتن عند نقطة تبعد 2 مترًا من أ، وحمل آخر 40 نيوتن عند الطرف الآخر (8 أمتار من أ). اكتب معادلة العزوم حول أ (بخلاف مثال الشرح).
عرض الإجابة
رد الفعل عند ب × 5 = 80×2 + 40×8 = 160+320 = 480.
2. أكمل حل السؤال السابق: احسب رد الفعل عند ب.
عرض الإجابة
رد الفعل عند ب = 480/5 = 96 نيوتن.
3. أكمل الحل: احسب رد الفعل عند أ باستخدام شرط الاتزان الرأسي.
عرض الإجابة
رد الفعل عند أ + 96 = 80+40 = 120؛ رد الفعل عند أ = 24 نيوتن.
4. عارضة طولها 10 أمتار، مرتكزة عند أ (طرف) وب (على بعد 7 أمتار من أ)، ويؤثر عليها حمل واحد 70 نيوتن عند 3 أمتار من أ. اكتب معادلة العزوم حول أ واحسب رد الفعل عند ب.
عرض الإجابة
رد الفعل عند ب × 7 = 70×3 = 210؛ رد الفعل عند ب = 30 نيوتن.
5. أكمل حل السؤال السابق: احسب رد الفعل عند أ.
عرض الإجابة
رد الفعل عند أ + 30 = 70؛ رد الفعل عند أ = 40 نيوتن.
6. لماذا يظل الشرط الأول من شروط الاتزان (مجـ ق_س=0) محققًا تلقائيًا في مسائل العوارض الأفقية بحمل رأسي فقط؟
عرض الإجابة
لأن جميع القوى المؤثرة (الأحمال وردود الأفعال) رأسية بالكامل، فلا توجد أي مركبات أفقية تحتاج موازنة.
7. عارضة طولها 5 أمتار، مرتكزة عند طرفيها، ويؤثر عليها حمل واحد 100 نيوتن عند 1 متر من الطرف الأيسر. اكتب معادلة العزوم حول الطرف الأيسر واحسب رد الفعل عند الطرف الأيمن.
عرض الإجابة
رد الفعل عند الطرف الأيمن × 5 = 100×1 = 100؛ رد الفعل عند الطرف الأيمن = 20 نيوتن.
8. أكمل حل السؤال السابق: احسب رد الفعل عند الطرف الأيسر.
عرض الإجابة
رد الفعل عند الطرف الأيسر + 20 = 100؛ رد الفعل عند الطرف الأيسر = 80 نيوتن.
9. لماذا يكون رد الفعل عند الطرف الأقرب لموضع الحمل أكبر من رد الفعل عند الطرف الأبعد، كما في السؤال السابق؟
عرض الإجابة
لأن الحمل الأقرب لنقطة ارتكاز معينة يُحمّلها نصيبًا أكبر من الوزن، بما يتوافق مع مبدأ توازن العزوم حول كل نقطة ارتكاز.
10. عارضة طولها 6 أمتار، مرتكزة عند طرفيها، ويؤثر عليها حملان: 60 نيوتن عند 2 متر من الطرف الأيسر، و30 نيوتن عند 4 أمتار من نفس الطرف. احسب رد الفعل عند الطرف الأيمن (اكتب معادلة العزوم واحسب الناتج).
عرض الإجابة
رد الفعل عند الطرف الأيمن × 6 = 60×2 + 30×4 = 120+120 = 240؛ رد الفعل عند الطرف الأيمن = 40 نيوتن.
11. أكمل حل السؤال السابق: احسب رد الفعل عند الطرف الأيسر.
عرض الإجابة
رد الفعل عند الطرف الأيسر + 40 = 60+30 = 90؛ رد الفعل عند الطرف الأيسر = 50 نيوتن.
12. في المسألة السابقة، تحقق أن مجموع ردود الأفعال (40+50=90) يساوي مجموع الأحمال المؤثرة (60+30=90)، ووضح سبب ضرورة هذا التطابق.
عرض الإجابة
يتطابقان (كلاهما 90 نيوتن)؛ هذا ضروري بسبب شرط الاتزان الرأسي (مجـ ق_ص=0)، الذي يوجب أن يوازن مجموع ردود الأفعال (لأعلى) مجموع الأحمال المؤثرة (لأسفل) تمامًا.