الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على تطبيق شروط الاتزان الثلاثة على مجموعة من القوى المستوية لحل مسائل الأجسام الساكنة.
شرح الدرس
بعد دراسة العزم والمحصلة في الدرسين السابقين، يتناول هذا الدرس المفهوم المحوري في الاستاتيكا: اتزان جسم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية — وهي الحالة التي يبقى فيها الجسم ساكنًا دون حركة أو دوران.
يتطلب الاتزان الكامل لجسم صلب تحت تأثير قوى مستوية تحقق ثلاثة شروط معًا في نفس الوقت: (1) مجموع مركبات القوى في اتجاه محور السينات يساوي صفرًا (مجـ ق_س = 0). (2) مجموع مركبات القوى في اتجاه محور الصادات يساوي صفرًا (مجـ ق_ص = 0). (3) مجموع العزوم بالنسبة لأي نقطة يساوي صفرًا (مجـ عزم = 0، باستخدام مفهوم العزم المدروس في الدرس الأول من هذا الباب).
الشرطان الأول والثاني يضمنان معًا أن محصلة القوى (كمتجه) تساوي الصفر — أي لا توجد قوة محصلة صافية تُحرّك الجسم انتقاليًا في أي اتجاه. الشرط الثالث يضمن عدم وجود عزم محصل صافٍ يُسبب دوران الجسم حول أي نقطة. تحقق الشروط الثلاثة معًا هو الضمان الكامل لبقاء الجسم في حالة سكون تام (لا انتقال ولا دوران).
خطوات الحل العملي لمسائل الاتزان: (1) رسم مخطط الجسم الحر (رسم توضيحي للجسم مع جميع القوى المؤثرة عليه، بما فيها وزنه وردود الأفعال من نقاط الارتكاز). (2) تحليل كل قوة غير موازية للمحاور إلى مركبتيها الأفقية والرأسية. (3) تطبيق الشرطين الأول والثاني لتكوين معادلتين. (4) تطبيق الشرط الثالث (اختيار نقطة مناسبة للعزوم، غالبًا نقطة يتقاطع عندها عدد كبير من القوى المجهولة، لتبسيط الحساب بحذفها من معادلة العزم). (5) حل المعادلات الثلاث الناتجة معًا لإيجاد القوى المجهولة.
أسئلة تدريبية
1. عارضة أفقية طولها 8 أمتار (بخلاف مثال الشرح 6 أمتار)، مرتكزة عند نقطتين أ (طرف) وب (على بعد 6 أمتار من أ)، ويؤثر عليها حمل 50 نيوتن عند نقطة تبعد 2 مترًا من أ. اكتب معادلة العزوم حول نقطة أ.
عرض الإجابة
رد الفعل عند ب × 6 = 50 × 2.
2. أكمل حل السؤال السابق: احسب رد الفعل عند ب.
عرض الإجابة
رد الفعل عند ب = 100/6 ≈ 16.7 نيوتن.
3. أكمل الحل: باستخدام شرط مجـ ق_ص=0، احسب رد الفعل عند أ.
عرض الإجابة
رد الفعل عند أ + 16.7 = 50؛ رد الفعل عند أ ≈ 33.3 نيوتن.
4. عارضة طولها 10 أمتار، مرتكزة عند طرفيها (أ وب)، ويؤثر عليها حمل 100 نيوتن في منتصفها تمامًا (5 أمتار من كل طرف). بسبب التناظر، ما توزيع رد الفعل المتوقع بين أ وب؟
عرض الإجابة
يتساوى رد الفعل عند كل من أ وب (50 نيوتن لكل منهما)، بسبب تناظر موضع الحمل تمامًا في المنتصف.
5. عارضة طولها 12 مترًا، مرتكزة عند أ (طرف) وب (على بعد 9 أمتار من أ)، ويؤثر عليها حمل 60 نيوتن عند نقطة تبعد 3 أمتار من أ. اكتب معادلة العزوم حول أ واحسب رد الفعل عند ب.
عرض الإجابة
رد الفعل عند ب × 9 = 60 × 3؛ رد الفعل عند ب = 180/9 = 20 نيوتن.
6. أكمل حل السؤال السابق: احسب رد الفعل عند أ.
عرض الإجابة
رد الفعل عند أ + 20 = 60؛ رد الفعل عند أ = 40 نيوتن.
7. جسم معلق بحبلين متوازيين، شد كل منهما مجهول، ووزن الجسم 40 نيوتن يؤثر تمامًا في منتصف المسافة بين الحبلين. ما مجموع الشدين في الحبلين، بناءً على شرط الاتزان الرأسي؟
عرض الإجابة
مجموع الشدين = 40 نيوتن (لموازنة الوزن، وفق شرط مجـ ق_ص=0).
8. عارضة طولها 6 أمتار مرتكزة عند طرفيها، ويؤثر عليها حملان: 30 نيوتن عند 2 متر من الطرف الأيسر، و20 نيوتن عند 5 أمتار من نفس الطرف. اكتب معادلة العزوم الكاملة حول الطرف الأيسر.
عرض الإجابة
رد الفعل عند الطرف الأيمن × 6 = 30×2 + 20×5 = 60+100 = 160.
9. أكمل حل السؤال السابق: احسب رد الفعل عند الطرف الأيمن.
عرض الإجابة
رد الفعل عند الطرف الأيمن = 160/6 ≈ 26.7 نيوتن.
10. أكمل الحل: احسب رد الفعل عند الطرف الأيسر باستخدام شرط الاتزان الرأسي.
عرض الإجابة
رد الفعل عند الطرف الأيسر + 26.7 = 30+20=50؛ رد الفعل عند الطرف الأيسر ≈ 23.3 نيوتن.
11. عارضة تحمل حملًا واحدًا فقط تمامًا في منتصفها، ومرتكزة عند طرفين متماثلين تمامًا في المسافة. لماذا يكون رد الفعل متساويًا عند الطرفين دون الحاجة لحل معادلات العزوم بالكامل؟
عرض الإجابة
بسبب التناظر الهندسي الكامل لموضع الحمل بالنسبة للطرفين، ما يجعل توزيع الحمل متساويًا منطقيًا بين نقطتي الارتكاز.
12. عارضة طولها 4 أمتار، ترتكز على نقطة واحدة فقط عند منتصفها تمامًا (2 متر من كل طرف)، ويؤثر عليها حملان متساويان 25 نيوتن عند كل طرف. هل هذا الوضع متزن، وما رد الفعل المطلوب عند نقطة الارتكاز؟
عرض الإجابة
نعم متزن (بالتناظر)؛ رد الفعل عند نقطة الارتكاز الواحدة = 25+25 = 50 نيوتن (لموازنة كلا الحملين رأسيًا).