الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على تطبيق طريقتي التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء على مقادير جبرية متنوعة.
شرح الدرس
يوسّع هذا الدرس طريقة التكامل بالتعويض المقدَّمة في الدرس السابق، ويضيف طريقة جديدة مهمة: التكامل بالتجزيء، وهي الأداة العكسية لقاعدة الضرب في الاشتقاق.
التكامل بالتعويض يُستخدم عندما يحتوي المقدار على دالة ومشتقتها معًا (كما رأينا في الدرس السابق)، ويصلح أيضًا لحالات أوسع تشمل الدوال المثلثية والجذرية، بشرط توفر النمط المناسب (دالة داخلية ومشتقتها كعامل ضربي).
التكامل بالتجزيء يُستخدم عندما يكون المقدار حاصل ضرب دالتين لا تنطبق عليهما طريقة التعويض مباشرة (مثل س × هـˣ، أو س × جتا س). تُشتق الصيغة من قاعدة الضرب في الاشتقاق: ∫ح دق = ح×ق – ∫ق دح، حيث نختار أحد العاملين ليكون ح (الذي نشتقه) والآخر ليكون دق (الذي نكامله)، بحيث يكون التكامل الناتج ∫ق دح أبسط من التكامل الأصلي.
مثال: لإيجاد ∫س × هـˣ دس، نختار ح = س (فيكون دح = دس، وهذا يبسّط الأمر لأن اشتقاق س يعطي 1)، ونختار دق = هـˣ دس (فيكون ق = هـˣ). بالتعويض في الصيغة: ∫س هـˣ دس = س هـˣ – ∫هـˣ دس = س هـˣ – هـˣ + ث = هـˣ(س-1) + ث.
قاعدة عملية مفيدة لاختيار ح في التكامل بالتجزيء (تُعرف اختصارًا بترتيب أولوية): تُفضَّل الدوال اللوغاريتمية، ثم الجبرية (كثيرات الحدود مثل س)، ثم المثلثية أو الأسية، بحيث يكون ح الدالة “الأسهل اشتقاقًا نحو التبسيط” ودق الجزء الباقي القابل للتكامل مباشرة — وهذا الاختيار الصحيح للعاملين هو المفتاح الأساسي لنجاح هذه الطريقة.
أسئلة تدريبية
1. احسب ∫س × هـ^(2س) دس باستخدام التكامل بالتجزيء (بخلاف مثال الشرح ∫سهـˣدس).
عرض الإجابة
نختار ح=س (دح=دس)، دق=هـ^(2س)دس (ق=(1/2)هـ^(2س))؛ التكامل = (س/2)هـ^(2س) – ∫(1/2)هـ^(2س)دس = (س/2)هـ^(2س) – (1/4)هـ^(2س) + ث.
2. احسب ∫س جتا(س) دس باستخدام التكامل بالتجزيء.
عرض الإجابة
نختار ح=س (دح=دس)، دق=جتا(س)دس (ق=جا(س))؛ التكامل = س جا(س) – ∫جا(س)دس = س جا(س) + جتا(س) + ث.
3. احسب ∫لط(س) دس (حالة خاصة: نعتبر دق=دس).
عرض الإجابة
نختار ح=لط(س) (دح=(1/س)دس)، دق=دس (ق=س)؛ التكامل = س لط(س) – ∫س×(1/س)دس = س لط(س) – س + ث.
4. في مثال ∫2س هـˣ دس، ما القيمة المختارة لـ ح وفق ترتيب الأولوية (الجبرية قبل الأسية)؟
عرض الإجابة
ح = 2س (الدالة الجبرية).
5. أكمل حل ∫2س هـˣ دس بعد اختيار ح=2س، دق=هـˣدس.
عرض الإجابة
دح=2دس، ق=هـˣ؛ التكامل = 2سهـˣ – ∫2هـˣدس = 2سهـˣ – 2هـˣ + ث.
6. احسب ∫س² هـˣ دس (يتطلب تجزيئًا مرتين متتاليتين – اكتب الخطوة الأولى فقط).
عرض الإجابة
نختار ح=س² (دح=2سدس)، دق=هـˣدس (ق=هـˣ)؛ الخطوة الأولى: س²هـˣ – ∫2سهـˣدس (والتكامل المتبقي ∫2سهـˣدس يحتاج تجزيئًا ثانيًا).
7. احسب ∫3س جا(س) دس باستخدام التكامل بالتجزيء.
عرض الإجابة
نختار ح=3س (دح=3دس)، دق=جا(س)دس (ق=-جتا(س))؛ التكامل = -3سجتا(س) + ∫3جتا(س)دس = -3سجتا(س) + 3جا(س) + ث.
8. متى تحديدًا لا يصلح التكامل بالتعويض، فنلجأ للتكامل بالتجزيء؟
عرض الإجابة
عندما يكون المقدار حاصل ضرب دالتين لا تنطبق عليهما طريقة التعويض (أي لا توجد دالة ومشتقتها معًا كعاملين).
9. احسب ∫س هـ^(-س) دس.
عرض الإجابة
نختار ح=س (دح=دس)، دق=هـ^(-س)دس (ق=-هـ^(-س))؛ التكامل = -سهـ^(-س) – ∫-هـ^(-س)دس = -سهـ^(-س) – هـ^(-س) + ث.
10. ما الشرط الأساسي الذي يجب توفره لاختيار ح ودق بنجاح في التكامل بالتجزيء؟
عرض الإجابة
أن يكون التكامل الناتج ∫ق دح أبسط من التكامل الأصلي.
11. احسب ∫4س جتا(2س) دس (اكتب الخطوة الأولى فقط بعد اختيار ح ودق).
عرض الإجابة
نختار ح=4س (دح=4دس)، دق=جتا(2س)دس (ق=(1/2)جا(2س))؛ الخطوة الأولى: 2سجا(2س) – ∫2جا(2س)دس.
12. أكمل حل السؤال السابق.
عرض الإجابة
∫2جا(2س)دس = -جتا(2س)؛ التكامل الكلي = 2سجا(2س) – (-جتا(2س)) + ث = 2سجا(2س) + جتا(2س) + ث.