الهدف

بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على إيجاد المشتقات العليا (الثانية والثالثة وما بعدها) لدالة، وتفسير معناها في سياقات هندسية وحركية.

شرح الدرس

بعد دراسة إيجاد المشتقة الأولى بطرق مختلفة (الضمني والبارامتري) في الدرسين السابقين، يتناول هذا الدرس المشتقات العليا: مشتقة المشتقة، وهكذا بشكل متكرر.

المشتقة الثانية د²ص/دس² هي مشتقة المشتقة الأولى دص/دس بالنسبة لـ س. المشتقة الثالثة د³ص/دس³ هي مشتقة المشتقة الثانية، وهكذا تتكرر العملية لإيجاد مشتقات من أي رتبة أعلى، طالما كانت الدالة قابلة للاشتقاق بشكل متكرر.

مثال: إذا كانت ص = س⁴، فإن دص/دس = 4س³، ود²ص/دس² = 12س²، ود³ص/دس³ = 24س، ود⁴ص/دس⁴ = 24 (عدد ثابت)، ود⁵ص/دس⁵ = صفر — لاحظ أن مشتقة أي كثيرة حدود من الدرجة ن تصبح صفرًا عند المشتقة رقم (ن+1)، وهي نتيجة منطقية لتناقص درجة الحد الأعلى بواحد مع كل اشتقاق.

للمشتقات العليا معانٍ تطبيقية مهمة تتكرر عبر باقي دروس هذا الباب: هندسيًا، ترتبط المشتقة الثانية بـتقعر المنحنى (موضوع درس دراسة المنحنيات، حيث تشير المشتقة الثانية الموجبة إلى تقعر لأعلى، والسالبة إلى تقعر لأسفل). حركيًا (وهو ارتباط مهم بباب الديناميكا اللاحق في هذا الكتاب)، إذا كانت ص تمثل إزاحة جسم متحرك بدلالة الزمن، فإن دص/دس تمثل السرعة، ود²ص/دس² تمثل التعجيل (العجلة) — وهذا يربط مباشرة بين المفهوم الجبري البحت للمشتقات العليا وتطبيقاته الفيزيائية المباشرة.

أسئلة تدريبية