الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على إيجاد دص/دس لدالة معطاة بصورة بارامترية باستخدام قاعدة الاشتقاق البارامتري.
شرح الدرس
تُعطى بعض الدوال بصورة بارامترية، حيث يُعبَّر عن س وص كلاهما بدلالة متغير ثالث (بارامتر، غالبًا ت)، بدلًا من التعبير المباشر عن ص بدلالة س — وهي صورة مألوفة بالفعل من درس معادلة المستقيم في الفراغ (الباب السابق)، لكنها هنا تُستخدم لدوال عامة تحتاج للاشتقاق.
إذا كان س = د(ت) وص = هـ(ت)، فإن قاعدة السلسلة (المستخدمة أيضًا في الاشتقاق الضمني، الدرس السابق) تسمح لنا بإيجاد دص/دس دون الحاجة إلى حذف البارامتر ت أولًا: دص/دس = (دص/دت) ÷ (دس/دت)، بشرط أن تكون دس/دت لا تساوي صفرًا.
مثال: إذا كان س = ت² وص = ت³، فإن دس/دت = 2ت ودص/دت = 3ت²، وبالتالي: دص/دس = 3ت²/2ت = 3ت/2 (بعد التبسيط، بافتراض ت لا تساوي صفرًا). لاحظ أن الناتج لا يزال بدلالة البارامتر ت، وهذا مقبول تمامًا؛ يمكن التعويض بقيمة ت المحددة عند نقطة معينة إذا طُلب ذلك.
لإيجاد المشتقة الثانية د²ص/دس² لدالة بارامترية (وهو موضوع مرتبط مباشرة بالمشتقات العليا، الدرس التالي)، لا نشتق دص/دس الناتجة مباشرة بالنسبة لـ س، بل نطبق نفس مبدأ القسمة على البارامتر مرة أخرى: د²ص/دس² = [د(دص/دس)/دت] ÷ (دس/دت) — أي نشتق مقدار دص/دس بالنسبة لـ ت، ثم نقسم على دس/دت مرة أخرى، وليس مجرد اشتقاق دص/دس بالنسبة لـ ت مباشرة.
أسئلة تدريبية
1. لدالة بارامترية س = ت + 1، ص = ت² (بخلاف مثال الشرح س=ت²،ص=ت³)، احسب دس/دت.
عرض الإجابة
دس/دت = 1.
2. احسب دص/دت لنفس الدالة (ص = ت²).
عرض الإجابة
دص/دت = 2ت.
3. احسب دص/دس لهذه الدالة.
عرض الإجابة
دص/دس = (دص/دت)/(دس/دت) = 2ت/1 = 2ت.
4. لدالة بارامترية س = 3ت، ص = ت³، احسب دس/دت ودص/دت.
عرض الإجابة
دس/دت = 3، دص/دت = 3ت².
5. احسب دص/دس للدالة في السؤال السابق.
عرض الإجابة
دص/دس = 3ت²/3 = ت².
6. لدالة بارامترية س = ت²، ص = 2ت، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=2ت، دص/دت=2؛ دص/دس = 2/(2ت) = 1/ت.
7. لدالة بارامترية س = ت³، ص = ت، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=3ت²، دص/دت=1؛ دص/دس = 1/(3ت²).
8. عند ت=2 في السؤال السابق، ما قيمة دص/دس؟
عرض الإجابة
دص/دس = 1/(3×4) = 1/12.
9. لدالة بارامترية س = ت، ص = ت² (حالة بسيطة)، احسب دص/دس ثم د²ص/دس².
عرض الإجابة
دص/دس = 2ت/1 = 2ت؛ لإيجاد المشتقة الثانية، نشتق (2ت) بالنسبة لـ ت فنحصل على 2، ثم نقسم على دس/دت=1؛ إذن د²ص/دس²=2.
10. لدالة بارامترية س=ت²، ص=ت³ (نفس مثال الشرح الأصلي)، احسب قيمة دص/دس عند ت=1.
عرض الإجابة
دص/دس = 3ت/2 (كما في الشرح)؛ عند ت=1: دص/دس = 3/2.
11. لدالة بارامترية س = 2ت، ص = ت² + 1، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=2، دص/دت=2ت؛ دص/دس = 2ت/2 = ت.
12. عند ت=3 في السؤال السابق، ما قيمة دص/دس؟
عرض الإجابة
دص/دس = 3.