الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على حل مسائل تطبيقية تجمع بين مفاهيم المستقيمات والمستويات المدروسة في هذا الباب، مثل تحديد العلاقة بين مستقيمين أو بين مستقيم ومستوى.
شرح الدرس
يُختتم هذا الباب بدرس تطبيقي يربط بين مفاهيم المستقيمات والمستويات المدروسة في الدروس السابقة، ويوضح كيف تُستخدم عمليات الضرب المتجهي (القياسي والاتجاهي، المدروسة في درس ضرب المتجهات) للحكم على العلاقات الهندسية بينها.
العلاقة بين مستقيمين: يكون مستقيمان متوازيين إذا وفقط إذا كان متجها اتجاههما متوازيين (أي أحدهما مضاعف عددي للآخر). يكونان متعامدين إذا وفقط إذا كان الضرب القياسي بين متجهي اتجاههما يساوي صفرًا. إذا لم يكونا متوازيين ولا متقاطعين (أي لا يشتركان في أي نقطة، ولا يقعان في مستوى واحد)، فإنهما متخالفان (متوازيان تخالفيًا) — وهي حالة تحدث فقط في الفراغ ثلاثي الأبعاد، ولا يوجد لها مقابل في المستوى ثنائي الأبعاد.
العلاقة بين مستقيم ومستوى: يكون المستقيم موازيًا للمستوى إذا وفقط إذا كان متجه اتجاه المستقيم عموديًا على المتجه الناظمي للمستوى (أي الضرب القياسي بينهما يساوي صفرًا). ويكون المستقيم عموديًا على المستوى إذا وفقط إذا كان متجه اتجاه المستقيم موازيًا للمتجه الناظمي للمستوى (أي متجهين أحدهما مضاعف عددي للآخر).
الزاوية بين مستويين تُحسب من الزاوية بين متجهيهما الناظميين، باستخدام صيغة الضرب القياسي (جتا θ = (ن₁·ن₂)/(|ن₁||ن₂|)) — وهذا يوضح كيف يجمع هذا الدرس التطبيقي الأخير بين جميع الأدوات المتجهية المدروسة عبر هذا الباب (المسافة، طول المتجه، الضرب القياسي، الضرب الاتجاهي) لحل مسائل هندسية فراغية متكاملة.
أسئلة تدريبية
1. هل المستقيمان بمتجهي اتجاه (2،4،6) و (1،2،3) متوازيان؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
نعم، لأن (2،4،6) = 2×(1،2،3) – أحد المتجهين مضاعف عددي للآخر.
2. هل المستقيمان بمتجهي اتجاه (1،0،0) و (0،1،0) متعامدان؟ تحقق بالضرب القياسي.
عرض الإجابة
نعم: الضرب القياسي = (1×0)+(0×1)+(0×0) = 0، إذن متعامدان.
3. مستقيم متجه اتجاهه (2،-1،3)، ومستوى متجهه الناظمي (2،-1،3) أيضًا. ما العلاقة بين المستقيم والمستوى؟
عرض الإجابة
المستقيم عمودي على المستوى (لأن متجه اتجاه المستقيم يوازي المتجه الناظمي للمستوى – نفس المتجه هنا تمامًا).
4. مستقيم متجه اتجاهه (1،2،0)، ومستوى متجهه الناظمي (0،0،5). هل المستقيم موازٍ للمستوى؟ تحقق بالضرب القياسي.
عرض الإجابة
الضرب القياسي = (1×0)+(2×0)+(0×5) = 0، إذن نعم المستقيم موازٍ للمستوى (متجه اتجاهه عمودي على الناظمي).
5. احسب جتا الزاوية بين مستويين متجهاهما الناظميان ن₁=(1،0،0) و ن₂=(0،1،0).
عرض الإجابة
جتا θ = (ن₁·ن₂)/(|ن₁||ن₂|) = 0/(1×1) = 0، إذن θ=90° (المستويان متعامدان).
6. هل المستقيمان بمتجهي اتجاه (1،1،1) و (2،2,3) متوازيان؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
لا، لأن (2،2،3) ليس مضاعفًا عدديًا ثابتًا لـ(1،1،1) – النسب 2/1، 2/1، 3/1 غير متساوية.
7. احسب جتا الزاوية بين مستويين متجهاهما الناظميان ن₁=(1،1،0) و ن₂=(1،-1،0).
عرض الإجابة
ن₁·ن₂ = 1-1+0 = 0؛ إذن جتا θ = 0، والزاوية = 90° (متعامدان).
8. مستقيمان بمتجهي اتجاه (3،0،0) و (0،5،0). هل هما متعامدان، متوازيان، أم متخالفان (بافتراض عدم تقاطعهما)؟
عرض الإجابة
الضرب القياسي = 0، إذن متعامدان (وإذا لم يتقاطعا فعليًا رغم التعامد الاتجاهي، فقد يكونان متخالفين متعامدي الاتجاه، لكن التعامد في الاتجاه محقق هنا رياضيًا).
9. مستوى متجهه الناظمي (4،0،0)، ومستقيم متجه اتجاهه (0،3،5). هل المستقيم موازٍ للمستوى؟
عرض الإجابة
نعم: الضرب القياسي = (4×0)+(0×3)+(0×5) = 0، فمتجه اتجاه المستقيم عمودي على الناظمي، مما يعني أن المستقيم موازٍ للمستوى.
10. احسب جتا الزاوية بين مستويين متجهاهما الناظميان ن₁=(1،0،0) و ن₂=(1،0،0) (نفس المتجه).
عرض الإجابة
جتا θ = (1)/(1×1) = 1، إذن θ=0° (المستويان متوازيان أو متطابقان في الاتجاه).
11. هل المستقيم بمتجه اتجاه (2،2،2) موازٍ للمستقيم بمتجه اتجاه (1،1،1)؟
عرض الإجابة
نعم، لأن (2،2،2) = 2×(1،1،1).
12. مستوى متجهه الناظمي (1،2،3)، ومستقيم متجه اتجاهه (1،2،3) أيضًا (نفس المتجه). ما العلاقة بين المستقيم والمستوى؟
عرض الإجابة
المستقيم عمودي على المستوى، لأن متجه اتجاهه يطابق تمامًا المتجه الناظمي للمستوى.