الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على كتابة معادلة المستقيم في الفراغ بصورتيه البارامترية والمتماثلة.
شرح الدرس
بناءً على المتجهات المدروسة في الدروس السابقة، يُحدَّد المستقيم في الفراغ بمعرفة نقطة عليه ومتجه اتجاهه (متجه يوازي المستقيم) — وهو تعريف مختلف جوهريًا عن تعريف المستقيم في المستوى بمجرد ميله وتقاطعه مع محور واحد.
إذا كانت النقطة أ(س₀، ص₀، ع₀) تقع على المستقيم، ومتجه الاتجاه هو د = (أ، ب، ج)، فإن الصورة البارامترية لمعادلة المستقيم تُعطى بثلاث معادلات منفصلة، تعتمد جميعها على بارامتر واحد (نُرمز له عادة بـ ك أو ت): س = س₀ + أك، ص = ص₀ + بك، ع = ع₀ + جك. كل قيمة للبارامتر ك تُعطي نقطة مختلفة على المستقيم.
بحل كل معادلة من المعادلات البارامترية الثلاث بالنسبة للبارامتر ك ومساواتها معًا (بافتراض أن أ، ب، ج جميعها لا تساوي صفرًا)، نحصل على الصورة المتماثلة لمعادلة المستقيم: (س-س₀)/أ = (ص-ص₀)/ب = (ع-ع₀)/ج. هذه الصورة مفيدة بشكل خاص لقراءة نقطة على المستقيم ومتجه اتجاهه مباشرة من المعادلة دون حسابات إضافية.
لإيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطتين معلومتين، نستخدم أولًا المتجه الواصل بينهما (كما تمت دراسته في درس المتجهات) بوصفه متجه الاتجاه، ثم نُطبّق أيًا من الصورتين أعلاه باستخدام إحدى النقطتين. هذا المفهوم — تحديد الموضع بنقطة ومتجه اتجاه — هو الأساس الذي يُبنى عليه أيضًا مفهوم المستوى في الفراغ، موضوع الدرس التالي.
أسئلة تدريبية
1. اكتب الصورة البارامترية لمعادلة مستقيم يمر بالنقطة (1،2،3) ومتجه اتجاهه (2،1،-1).
عرض الإجابة
س=1+2ك، ص=2+ك، ع=3-ك.
2. اكتب الصورة المتماثلة لنفس المستقيم في السؤال السابق.
عرض الإجابة
(س-1)/2 = (ص-2)/1 = (ع-3)/(-1).
3. أوجد متجه الاتجاه لمستقيم يمر بالنقطتين أ(0،0،0) و ب(3،6،9).
عرض الإجابة
متجه الاتجاه = ب-أ = (3،6،9).
4. اكتب الصورة المتماثلة لمستقيم يمر بالنقطة (2،-1،0) ومتجه اتجاهه (1،3،2).
عرض الإجابة
(س-2)/1 = (ص+1)/3 = (ع-0)/2.
5. هل النقطة (3،3,2) تقع على المستقيم (س-1)/2 = (ص-2)/1 = (ع-3)/(-1)؟ (تحقق بالتعويض)
عرض الإجابة
نعم: (3-1)/2=1، (3-2)/1=1، (2-3)/(-1)=1 – جميع النسب متساوية (=1)، فالنقطة تقع على المستقيم.
6. أوجد متجه الاتجاه لمستقيم يمر بالنقطتين أ(1،1،1) و ب(1،1،5).
عرض الإجابة
متجه الاتجاه = ب-أ = (0،0،4).
7. اكتب الصورة البارامترية لمستقيم يمر بالنقطة (0،0،0) ومتجه اتجاهه (1،1،1).
عرض الإجابة
س=ك، ص=ك، ع=ك.
8. في مستقيم صورته المتماثلة (س-4)/3 = (ص+2)/5 = ع/1، ما إحداثيات النقطة التي يمر بها المستقيم، وما متجه اتجاهه؟
عرض الإجابة
النقطة (4،-2،0)، ومتجه الاتجاه (3،5،1).
9. عند ك=2 في الصورة البارامترية س=1+2ك، ص=2+ك، ع=3-ك، ما إحداثيات النقطة الناتجة؟
عرض الإجابة
(1+4، 2+2، 3-2) = (5، 4، 1).
10. أوجد متجه الاتجاه لمستقيم يمر بالنقطتين أ(2،0،-1) و ب(5،3،-1).
عرض الإجابة
متجه الاتجاه = ب-أ = (3،3،0).
11. باستخدام متجه الاتجاه من السؤال السابق والنقطة أ، اكتب الصورة المتماثلة للمستقيم.
عرض الإجابة
(س-2)/3 = (ص-0)/3 = (ع-(-1))/0 – لاحظ أن هذه الحالة تتطلب صيغة خاصة لأن أحد المركبات صفر، لكن الصورة البارامترية تبقى صالحة: س=2+3ك، ص=3ك، ع=-1.
12. هل النقطة (1،3,7) تقع على المستقيم س=ك، ص=ك، ع=ك؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
لا، لأن هذا يتطلب س=ص=ع لكل نقطة على المستقيم، والنقطة (1،3،7) لا تحقق هذا الشرط (1≠3≠7).