الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على حساب الضرب القياسي والضرب الاتجاهي بين متجهين، وتوضيح المعنى الهندسي لكل منهما.
شرح الدرس
بناءً على المتجهات المدروسة في الدرس السابق، يوجد نوعان أساسيان من ضرب المتجهات، يختلفان جوهريًا في نوع النتيجة الناتجة عن كل منهما.
الضرب القياسي (الداخلي) بين متجهين ينتج كمية قياسية (عدد حقيقي)، ويُحسب بضرب المركبات المتناظرة وجمع النواتج: أ·ب = أ₁ب₁ + أ₂ب₂ + أ₃ب₃. هندسيًا، يرتبط الضرب القياسي بالزاوية بين المتجهين θ بالعلاقة: أ·ب = |أ||ب|جتا θ — وهذا يعني أن الضرب القياسي يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان المتجهان متعامدين (جتا 90° = صفر)، وهي طريقة عملية سريعة للتحقق من التعامد بين متجهين دون حساب الزاوية مباشرة.
الضرب الاتجاهي (الخارجي) بين متجهين ينتج متجهًا جديدًا عموده على كلا المتجهين الأصليين معًا (باتباع قاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاهه). يُحسب باستخدام محدد مصفوفة 3×3 تحتوي على متجهات الوحدة ح، ك، ل في الصف الأول ومركبات المتجهين في الصفين الآخرين.
هندسيًا، يرتبط طول الضرب الاتجاهي |أ × ب| بالعلاقة: |أ × ب| = |أ||ب|جا θ، وهو يساوي المساحة (المسطحة) المكوّنة من متوازي الأضلاع الذي يمثل المتجهين أ وب ضلعين متجاورين له — وهذا الطول يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان المتجهان متوازيين (جا 0° = صفر). يُستخدم هذا التمييز بين نوعي الضرب (زاوية متعامدة تعني ضربًا قياسيًا صفريًا، ومتوازية تعني ضربًا اتجاهيًا صفريًا) بشكل متكرر في مسائل المستقيمات والمستويات في الفراغ، موضوع الدروس التالية من هذا الباب.
أسئلة تدريبية
1. احسب الضرب القياسي بين أ=(1،2،3) و ب=(4،-1،2) (بخلاف أي مثال في الشرح).
عرض الإجابة
أ·ب = (1×4)+(2×-1)+(3×2) = 4-2+6 = 8.
2. هل المتجهان أ=(1،0،0) و ب=(0،1،0) متعامدان؟ تحقق بحساب الضرب القياسي.
عرض الإجابة
أ·ب = (1×0)+(0×1)+(0×0) = 0، إذن نعم متعامدان (الضرب القياسي = صفر).
3. احسب الضرب القياسي بين أ=(2،2،1) و ب=(1،-1،0).
عرض الإجابة
أ·ب = (2×1)+(2×-1)+(1×0) = 2-2+0 = 0 (متعامدان).
4. احسب الضرب القياسي بين أ=(3،0،4) و ب=(3،0,4) (متجه مع نفسه).
عرض الإجابة
أ·أ = 9+0+16 = 25 (يساوي مربع طول المتجه، أي |أ|²).
5. هل المتجهان أ=(2،4،6) و ب=(1،2،3) متوازيان؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
نعم، لأن أ = 2ب (كل مركبة في أ تساوي ضعف المركبة المقابلة في ب).
6. احسب طول الضرب الاتجاهي |أ × ب| إذا علمت أن |أ|=3، |ب|=4، والزاوية بينهما 90°.
عرض الإجابة
|أ×ب| = |أ||ب|جا90° = 3×4×1 = 12.
7. إذا كان |أ|=5، |ب|=2، والزاوية بينهما 0° (متوازيان)، احسب |أ×ب|.
عرض الإجابة
|أ×ب| = 5×2×جا0° = 5×2×0 = 0 (متوقع، لأن المتجهين المتوازيين لهما ضرب اتجاهي بطول صفر).
8. احسب الضرب القياسي بين أ=(5،-2،1) و ب=(0،0،3).
عرض الإجابة
أ·ب = (5×0)+(-2×0)+(1×3) = 0+0+3 = 3.
9. باستخدام النتيجة من السؤال السابق، هل المتجهان أ=(5،-2،1) و ب=(0،0،3) متعامدان؟
عرض الإجابة
لا، لأن الضرب القياسي بينهما (=3) لا يساوي صفرًا.
10. احسب الضرب القياسي بين أ=(1،1،1) و ب=(1،1،1) (متجه مع نفسه).
عرض الإجابة
أ·أ = 1+1+1 = 3.
11. إذا كان الضرب القياسي بين متجهين يساوي -6، هل هذا يعني أنهما متعامدان؟
عرض الإجابة
لا، الضرب القياسي يساوي صفرًا فقط عند التعامد؛ قيمة -6 (غير صفرية) تعني أنهما غير متعامدين.
12. احسب |أ×ب| إذا كان |أ|=6، |ب|=6، والزاوية بينهما 30°.
عرض الإجابة
|أ×ب| = 6×6×جا30° = 36×0.5 = 18.