الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على تمثيل المتجهات في الفراغ ثلاثي الأبعاد، وحساب طول المتجه ومتجه الوحدة في اتجاهه.
شرح الدرس
بناءً على النظام الإحداثي الفراغي المدروس في الدرس السابق، يُمثَّل المتجه في الفراغ (كمية لها مقدار واتجاه) بثلاثي مرتب من المركبات: م = (م₁، م₂، م₃)، أو بصورة مكافئة بدلالة متجهات الوحدة القياسية: م = م₁ح + م₂ك + م₃ل، حيث ح، ك، ل متجهات الوحدة في اتجاهات المحاور س، ص، ع على التوالي.
يُحسب طول (مقدار) المتجه |م| بصيغة مشابهة مباشرة لصيغة المسافة من الدرس السابق: |م| = √(م₁² + م₂² + م₃²). يمكن تكوين متجه من نقطتين معلومتين أ وب بطرح إحداثيات النقطة الأولى من الثانية: المتجه أب = (س₂-س₁، ص₂-ص₁، ع₂-ع₁).
عمليات المتجهات الأساسية (الجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي) تتم بشكل مباشر على المركبات المتناظرة: إذا كان أ = (أ₁،أ₂،أ₃) وب = (ب₁،ب₂،ب₃)، فإن أ + ب = (أ₁+ب₁، أ₂+ب₂، أ₃+ب₃)، وك×أ = (ك أ₁، ك أ₂، ك أ₃) لأي عدد حقيقي ك.
متجه الوحدة في اتجاه متجه معين م هو متجه له نفس اتجاه م لكن طوله يساوي 1، ويُحسب بقسمة المتجه على طوله: م̂ = م ÷ |م|. يُستخدم متجه الوحدة بشكل متكرر في تمثيل الاتجاهات دون الاهتمام بالمقدار، وهو مفهوم أساسي في درس ضرب المتجهات التالي.
أسئلة تدريبية
1. احسب طول المتجه م = (3، 4، 0).
عرض الإجابة
|م| = √(3²+4²+0²) = √25 = 5.
2. احسب طول المتجه م = (1، 2، 2) (بخلاف أمثلة أخرى).
عرض الإجابة
|م| = √(1²+2²+2²) = √9 = 3.
3. كوّن المتجه من النقطة أ(1،1،1) إلى النقطة ب(4،5،1).
عرض الإجابة
المتجه أب = (4-1، 5-1، 1-1) = (3، 4، 0).
4. احسب مجموع المتجهين أ=(2،-1،3) و ب=(1،4،-2).
عرض الإجابة
أ+ب = (2+1، -1+4، 3+(-2)) = (3، 3، 1).
5. احسب 3م إذا كان م = (2، -1، 4).
عرض الإجابة
3م = (6، -3، 12).
6. أوجد متجه الوحدة في اتجاه المتجه م = (3، 4، 0) (استخدم طوله من سؤال سابق).
عرض الإجابة
م̂ = (3/5، 4/5، 0/5) = (3/5، 4/5، 0).
7. احسب طرح المتجهين: أ – ب حيث أ=(5،2،1) و ب=(2،3،4).
عرض الإجابة
أ-ب = (5-2، 2-3، 1-4) = (3، -1، -3).
8. كوّن المتجه من النقطة أ(0،0،0) إلى النقطة ب(6،8،0)، ثم احسب طوله.
عرض الإجابة
المتجه أب = (6،8،0)؛ الطول = √(36+64+0) = √100 = 10.
9. احسب م + 2ن إذا كان م=(1،0،2) و ن=(3،-1،1).
عرض الإجابة
م + 2ن = (1،0،2) + (6،-2،2) = (7،-2،4).
10. احسب طول المتجه م = (0، 0، 7).
عرض الإجابة
|م| = √(0+0+49) = 7.
11. أوجد متجه الوحدة في اتجاه م = (1، 2، 2) (استخدم طوله من سؤال سابق).
عرض الإجابة
م̂ = (1/3، 2/3، 2/3).
12. احسب -2م إذا كان م = (4، -3، 1).
عرض الإجابة
-2م = (-8، 6، -2).