الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على إيجاد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح باستخدام نظرية ديموافر، وذكر أهم خصائصها.
شرح الدرس
يُطبّق هذا الدرس مبدأ الجذور النونية المدروس في الدرس السابق على حالة خاصة ومهمة بشكل كبير: الجذور التكعيبية للواحد الصحيح، أي حلول المعادلة سّ³ = 1.
نكتب العدد 1 في صورته المثلثية أولًا: 1 = 1(جتا 0° + ت جا 0°)، حيث المعيار ر = 1 والسعة θ = 0°. بتطبيق صيغة الجذور النونية (بالتعويض ن = 3): الجذور التكعيبية = 1^(1/3)[جتا ((0° + 360°ك)/3) + ت جا ((0° + 360°ك)/3)]، حيث ك = 0، 1، 2.
بالتعويض بـ ك = 0، 1، 2 على التوالي، نحصل على ثلاثة جذور: عند ك=0: الجذر الأول = جتا 0° + ت جا 0° = 1 (الجذر الحقيقي البديهي). عند ك=1: الجذر الثاني = جتا 120° + ت جا 120° = -1/2 + ت√3/2. عند ك=2: الجذر الثالث = جتا 240° + ت جا 240° = -1/2 – ت√3/2.
يُرمز عادة للجذر الثاني بالرمز و (أوميغا)، ويُلاحظ أن الجذر الثالث يساوي و² (مربع الجذر الثاني) — وهذا يعطي خاصيتين مهمتين يجب حفظهما: و³ = 1 (بحكم تعريف الجذر التكعيبي)، و1 + و + و² = 0 (وهي خاصية تُستخدم كثيرًا لتبسيط المقادير الجبرية المشتملة على و في مسائل الأعداد المركبة). هندسيًا، تقع النقاط الثلاث الممثلة لهذه الجذور على دائرة الوحدة، متباعدة بزوايا منتظمة قدرها 120° بينها.
أسئلة تدريبية
1. تحقق جبريًا أن و² = -1/2 – ت√3/2 يحقق المعادلة سّ³ = 1 (بالتعويض المباشر، بشكل مختصر).
عرض الإجابة
بما أن و³=1 (خاصية أساسية)، فإن (و²)³ = و⁶ = (و³)² = 1² = 1 – إذن و² يحقق المعادلة.
2. احسب و + و² + 1 باستخدام الخاصية الأساسية المدروسة.
عرض الإجابة
يساوي صفرًا (1 + و + و² = 0، وهي الخاصية الثانية الأساسية).
3. احسب و⁴ باستخدام خاصية و³ = 1.
عرض الإجابة
و⁴ = و³ × و = 1 × و = و.
4. احسب و⁵.
عرض الإجابة
و⁵ = و³ × و² = 1 × و² = و².
5. احسب و⁶.
عرض الإجابة
و⁶ = (و³)² = 1² = 1.
6. بسّط المقدار 1 + 2و + 2و² باستخدام خاصية 1+و+و²=0.
عرض الإجابة
1 + 2و + 2و² = (1+و+و²) + (و+و²) = 0 + (و+و²) = و+و² = -1 (لأن 1+و+و²=0، فو+و²=-1).
7. احسب (و²)² (أي و⁴ بطريقة أخرى) وتحقق من تطابق الناتج مع الحساب المباشر لـ و⁴.
عرض الإجابة
(و²)² = و⁴ = و (كما حسبناه في سؤال سابق) – نفس النتيجة، يتحقق التطابق.
8. بسّط المقدار و⁷.
عرض الإجابة
و⁷ = و⁶ × و = 1 × و = و.
9. إذا كانت س = و (الجذر التكعيبي الثاني)، احسب قيمة س³ – 1.
عرض الإجابة
بما أن و³=1، فإن س³-1 = 1-1 = 0.
10. بسّط المقدار (1+و)(1+و²) باستخدام خاصية 1+و+و²=0.
عرض الإجابة
(1+و)(1+و²) = 1+و²+و+و³ = (1+و+و²)+و³ = 0+1 = 1.
11. احسب و¹⁰ (استخدم خاصية و³=1 وقسمة الأس على 3).
عرض الإجابة
10 = 3×3+1، إذن و¹⁰ = (و³)³ × و = 1×و = و.
12. ما الفرق الجوهري بين الجذر التكعيبي الأول (=1) والجذرين الآخرين (و، و²) من حيث كونهما حقيقيين أم مركبين؟
عرض الإجابة
الجذر الأول (1) هو العدد الحقيقي الوحيد بين الجذور الثلاثة؛ الجذران الآخران (و، و²) عددان مركبان (لهما جزء تخيلي غير صفري).