الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على استخدام نظرية ديموافر لإيجاد قوى وجذور الأعداد المركبة بطريقة مبسطة.
شرح الدرس
بعد التعرف على الصورة المثلثية للعدد المركب في الدرس السابق، تُبيّن نظرية ديموافر السبب الحقيقي لأهمية هذه الصورة: تبسيط عمليتي رفع العدد المركب لقوة وإيجاد جذوره.
تنص نظرية ديموافر على أن: [ر(جتا θ + ت جا θ)]ⁿ = رⁿ(جتا نθ + ت جا نθ)، لأي عدد صحيح ن. بمعنى آخر: لرفع عدد مركب (في صورته المثلثية) لقوة ن، نرفع المعيار للقوة ن، ونضرب السعة في ن — وهذا أبسط بكثير من الضرب المباشر المتكرر للصورة الجبرية، خاصة عندما تكون ن كبيرة.
مثال: لحساب (1 + ت√3)⁵، نستخدم الصورة المثلثية من الدرس السابق [2(جتا 60° + ت جا 60°)]، فنطبق النظرية: 2⁵(جتا (5×60°) + ت جا (5×60°)) = 32(جتا 300° + ت جا 300°) — وهو حل أسرع بكثير من ضرب (1 + ت√3) في نفسها خمس مرات متتالية بالصورة الجبرية.
تُستخدم نظرية ديموافر أيضًا لإيجاد الجذور النونية لعدد مركب: إذا كان ع = ر(جتا θ + ت جا θ)، فإن الجذور النونية لع تُعطى بالصيغة: ع^(1/ن) = ر^(1/ن)[جتا ((θ + 360°ك)/ن) + ت جا ((θ + 360°ك)/ن)]، حيث ك = 0، 1، 2، …، ن-1 — مما يعني أن لكل عدد مركب (غير الصفر) بالضبط ن جذرًا نونيًا مختلفًا، وهو مبدأ أساسي يُبنى عليه درس الجذور التكعيبية للواحد الصحيح التالي.
أسئلة تدريبية
1. باستخدام نظرية ديموافر، احسب (√3 + ت)⁴ (بخلاف مثال الشرح (1+ت√3)⁵). الصورة المثلثية لـ √3+ت هي 2(جتا30° + ت جا30°).
عرض الإجابة
المعيار: 2⁴=16؛ السعة: 4×30°=120°؛ الناتج = 16(جتا120° + ت جا120°).
2. احسب (2(جتا 45° + ت جا 45°))³ باستخدام نظرية ديموافر.
عرض الإجابة
المعيار: 2³=8؛ السعة: 3×45°=135°؛ الناتج = 8(جتا135° + ت جا135°).
3. احسب (جتا 60° + ت جا 60°)⁶ (معيار العدد الأصلي = 1).
عرض الإجابة
المعيار: 1⁶=1؛ السعة: 6×60°=360°؛ الناتج = 1(جتا360° + ت جا360°) = 1.
4. أوجد الجذور التربيعية (ن=2) للعدد ع = 4(جتا 60° + ت جا 60°).
عرض الإجابة
ر^(1/2)=2؛ السعات: (60+360ك)/2 لك=0،1؛ الجذر الأول: 2(جتا30°+تجا30°)؛ الجذر الثاني: 2(جتا210°+تجا210°).
5. كم جذرًا رباعيًا (ن=4) يمتلكها أي عدد مركب غير الصفر؟
عرض الإجابة
4 جذور مختلفة بالضبط (يساوي قيمة ن).
6. احسب (2(جتا 90° + ت جا 90°))⁵.
عرض الإجابة
المعيار: 2⁵=32؛ السعة: 5×90°=450°، وتُختزل إلى 450-360=90°؛ الناتج = 32(جتا90° + ت جا90°).
7. أوجد الجذور التكعيبية (ن=3) للعدد ع = 8(جتا 0° + ت جا 0°) (أي العدد 8 نفسه).
عرض الإجابة
ر^(1/3)=2؛ السعات: (0+360ك)/3 لك=0،1،2؛ الجذور: 2(جتا0°)، 2(جتا120°+تجا120°)، 2(جتا240°+تجا240°).
8. احسب (3(جتا 30° + ت جا 30°))³.
عرض الإجابة
المعيار: 3³=27؛ السعة: 3×30°=90°؛ الناتج = 27(جتا90° + ت جا90°) = 27ت.
9. لماذا تُعد طريقة ديموافر أسرع من الضرب المباشر عند حساب (جتا 20° + ت جا 20°)¹⁰؟
عرض الإجابة
لأن الضرب المباشر يتطلب ضرب الصورة الجبرية في نفسها 10 مرات، بينما ديموافر يحتاج فقط ضرب السعة في 10 ورفع المعيار للقوة 10 – خطوة واحدة بدلًا من ضرب متكرر.
10. أوجد إحدى الجذور التربيعية فقط (عند ك=0) للعدد ع = 9(جتا 40° + ت جا 40°).
عرض الإجابة
ر^(1/2)=3؛ السعة عند ك=0: 40/2=20°؛ الجذر = 3(جتا20° + ت جا20°).
11. احسب (2(جتا 15° + ت جا 15°))⁴.
عرض الإجابة
المعيار: 2⁴=16؛ السعة: 4×15°=60°؛ الناتج = 16(جتا60° + ت جا60°).
12. كم جذرًا للعدد المركب ع = 5(جتا 50° + ت جا 50°) إذا أردنا الجذور الخماسية (ن=5)؟
عرض الإجابة
5 جذور مختلفة بالضبط.