الهدف
بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على إيجاد النسبة بين حدين متتاليين في مفكوك ذات الحدين واستخدامها في حل مسائل متعلقة بأكبر حد أو معامل في المفكوك.
شرح الدرس
يكمل هذا الدرس تطبيقات نظرية ذات الحدين، مستخدمًا صيغة الحد العام المدروسة في الدرس السابق لإيجاد النسبة بين حدين متتاليين في المفكوك.
بقسمة صيغة الحد (ك+2) [وهو الحد التالي مباشرة] على صيغة الحد (ك+1)، وبعد التبسيط باستخدام خصائص المضروب (حيث (ك+1)! = (ك+1) × ك!)، نحصل على صيغة مبسطة للنسبة بين أي حدين متتاليين، تعتمد فقط على ن وك ونسبة صّ إلى سّ (أو العكس، حسب ترتيب الحدين).
تُستخدم هذه النسبة في نوعين أساسيين من المسائل: أولًا، إيجاد الحد الأكبر (أو المعامل الأكبر) في المفكوك، وذلك بدراسة متى تكون النسبة أكبر من 1 (فيستمر الحد في التزايد) ومتى تصبح أصغر من أو تساوي 1 (فيبدأ الحد في التناقص أو يصل لأكبر قيمته) — وبذلك نحدد قيمة ك التي يتحقق عندها الحد الأكبر.
ثانيًا، تُستخدم النسبة في حل مسائل تُعطى فيها علاقة مباشرة بين معاملات حدين متتاليين (مثل: “إذا كان معامل الحد الثالث يساوي ضعف معامل الحد الثاني”)، حيث نُكوّن معادلة من صيغة النسبة ونحلها لإيجاد قيمة ن أو قيمة أخرى مجهولة في المسألة، بدلًا من حساب المعاملات كلها بشكل منفصل ومقارنتها مباشرة.
أسئلة تدريبية
1. في مفكوك (س + ص)¹⁰، أوجد قيمة ك التي عندها يكون الحد الأكبر (بافتراض س=ص=1 لتبسيط المسألة كحالة عددية)، إذا علمت أن النسبة بين الحدين المتتاليين تصبح أقل من 1 عندما ك > 5.
عرض الإجابة
الحد الأكبر يقع عند ك=5 تقريبًا (النسبة تساوي 1 تقريبًا عند منتصف المفكوك عندما س=ص).
2. في مفكوك (س + ص)ⁿ، إذا كانت النسبة بين الحدين المتتاليين محسوبة بالصيغة العامة، فما العاملان الأساسيان اللذان تعتمد عليهما هذه النسبة؟
عرض الإجابة
قيمة ك، ونسبة صّ إلى سّ (أو العكس حسب ترتيب الحدود).
3. إذا أعطتنا مسألة أن معامل الحد الثالث في مفكوك (س+ص)ⁿ يساوي ضعف معامل الحد الثاني، ما نوع المعادلة التي نكوّنها لإيجاد ن؟
عرض الإجابة
معادلة في ن باستخدام صيغة النسبة بين الحدين المتتاليين (الحد الثالث ÷ الحد الثاني = 2).
4. في مفكوك (س + ص)⁸، اكتب صيغة النسبة بين الحد الخامس والحد الرابع (دون حساب رقمي، فقط الصيغة).
عرض الإجابة
النسبة = (⁸C₄ س⁴ص⁴) ÷ (⁸C₃ س⁵ص³)، والتي تُبسَّط باستخدام صيغة النسبة العامة.
5. إذا كانت النسبة بين حدين متتاليين في مفكوك معين تساوي (ن-ك)/(ك+1) × (ص/س)، وكانت ن=9، ك=3، فهل يستمر الحد في التزايد أم التناقص عند هذه النقطة (بافتراض س=ص=1)؟
عرض الإجابة
النسبة = (9-3)/(3+1) = 6/4 = 1.5 > 1، إذن الحد لا يزال في تزايد عند هذه النقطة.
6. في نفس مفكوك السؤال السابق (ن=9)، عند أي قيمة تقريبية لك تصبح النسبة أقل من 1 (بافتراض س=ص=1)؟
عرض الإجابة
عندما (9-ك)/(ك+1) < 1، أي 9-ك 4، فتبدأ النسبة في الانخفاض عن 1 عند ك=5 تقريبًا.
7. صيغة عامة: النسبة بين الحدين المتتاليين تعتمد على قسمة الحد (ك+2) على الحد (ك+1). ما الخاصية في المضروب التي تُستخدم لتبسيط هذه القسمة؟
عرض الإجابة
(ك+1)! = (ك+1) × ك!.
8. في مفكوك (2 + س)⁶، إذا أردنا إيجاد أكبر معامل عددي (بافتراض قيمة معينة لـ س)، ما أول خطوة نتبعها باستخدام مفهوم هذا الدرس؟
عرض الإجابة
تكوين صيغة النسبة بين حدين متتاليين ودراسة متى تكون أكبر من 1 (تزايد) ومتى تصبح أقل من أو تساوي 1 (تناقص/أكبر قيمة).
9. في مسألة تقول: “معامل الحد الرابع في مفكوك (س+ص)ⁿ يساوي معامل الحد الثالث”، ما القيمة الأولية لهذه النسبة التي نساويها بـ 1؟
عرض الإجابة
نسبة الحد الرابع إلى الحد الثالث = 1 (لأنهما متساويان).
10. بشكل عام، عند حل مسألة “أوجد الحد الأكبر”، هل نبحث عن النقطة التي تتحول عندها النسبة من أكبر من 1 إلى أقل من 1، أم العكس؟
عرض الإجابة
من أكبر من 1 إلى أقل من (أو تساوي) 1 – وهذا يحدد أكبر حد في المفكوك.
11. في مفكوك (س+ص)¹², ما الصيغة التي تصف النسبة بين الحد السابع والحد السادس (بدلالة ك، مع ك=5 للحد السادس)؟
عرض الإجابة
النسبة = ((12-5)/(5+1)) × (ص/س) = (7/6)(ص/س).
12. إذا كانت نسبة صّ إلى سّ في مسألة معينة تساوي 1 (س=ص)، فما الذي يحدد وحده مكان أكبر حد في المفكوك عندئذ؟
عرض الإجابة
قيمة ن نفسها (يكون أكبر حد قريبًا من منتصف المفكوك، عند ك ≈ ن/2).