الهدف

بنهاية هذا الدرس، يكون الطالب قادرًا على كتابة مفكوك ذات الحدين (س + ص)^ن باستخدام نظرية ذات الحدين، وحساب معاملات ثنائية الحدين.

شرح الدرس

تُستخدم نظرية ذات الحدين لإيجاد مفكوك أي مقدار على الصورة (س + ص)^ن دون الحاجة إلى الضرب المباشر المتكرر، وهي أداة جبرية أساسية تُبنى عليها دروس هذا الباب.

تنص النظرية على أن: (س + ص)^ن = مجموع الحدود من ك = 0 إلى ن لـ ⁿCₖ × س^(ن-ك) × صᵏ، حيث ⁿCₖ (يُقرأ “ن تشوز ك”) هو المعامل ثنائي الحدين، ويُحسب بالصيغة: ⁿCₖ = ن! ÷ (ك! × (ن-ك)!)، حيث الرمز “!” يعني المضروب (مثل: 4! = 4×3×2×1 = 24).

لاحظ الخصائص التالية في مفكوك (س + ص)^ن: عدد الحدود في المفكوك يساوي (ن + 1)؛ أُس س يتناقص من ن إلى صفر بينما أُس ص يتزايد من صفر إلى ن في كل حد على التوالي؛ ومجموع الأُسين في كل حد يساوي ن دائمًا. كذلك تتماثل المعاملات ثنائية الحدين تماثلًا حول مركز المفكوك (ⁿC₀ = ⁿCₙ، وⁿC₁ = ⁿCₙ₋₁، وهكذا)، وهي خاصية يمكن استخدامها للتحقق من صحة الحساب.

مثال: مفكوك (س + ص)³ = ³C₀س³ص⁰ + ³C₁س²ص¹ + ³C₂س¹ص² + ³C₃س⁰ص³ = س³ + 3س²ص + 3سص² + ص³ (باستخدام ³C₁ = 3! ÷ (1!×2!) = 3، وهكذا). هذا المثال المألوف يوضح كيف تعمل النظرية بشكل عام مع أي قوة ن.

أسئلة تدريبية