الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادراً على حساب المعاوقة الكلية لدائرة RLC على التوالي، وتحديد شروط حدوث الرنين وخصائصه.
شرح الدرس
في دائرة تحتوي على مقاومة R وملف (معاوقته الحثية XL) ومكثف (معاوقته السعوية XC) متصلة على التوالي، تكون المعاوقة الكلية: Z = √(R² + (XL-XC)²)، وتُستخدم بنفس طريقة المقاومة: Vrms = Irms × Z.
تحدث حالة الرنين عند التردد الذي تتساوى فيه المعاوقتان: XL = XC، وعنده يكون تردد الرنين: f₀ = 1/(2π√(LC)). عند الرنين، يختزل الفرق (XL-XC) إلى صفر، فتصبح المعاوقة الكلية عند أصغر قيمة ممكنة لها: Z = R فقط.
بما أن Irms=Vrms/Z، فإن أصغر قيمة ممكنة لـZ (عند الرنين) تُنتج أكبر قيمة ممكنة للتيار في الدائرة، عند ثبات فرق الجهد المصدر.
أسئلة تدريبية
1. دائرة RLC على التوالي تحتوي على مقاومة 30 أوم، ومعاوقة حثية 50 أوم، ومعاوقة سعوية 10 أوم. احسب المعاوقة الكلية للدائرة.
عرض الإجابة
Z=√(R²+(XL-XC)²)=√(30²+40²)=√(900+1600)=√2500=50 أوم.
2. دائرة RLC معاوقتها الكلية 25 أوم، متصلة بمصدر تيار متردد قيمته الفعالة للجهد 125 فولت. احسب القيمة الفعالة للتيار في الدائرة.
عرض الإجابة
Irms=Vrms/Z=125/25=5 أمبير.
3. دائرة RLC تحدث فيها حالة الرنين. ما العلاقة بين المعاوقة الحثية والمعاوقة السعوية عند الرنين؟
عرض الإجابة
تتساوى المعاوقتان تماماً عند الرنين: XL=XC.
4. دائرة RLC عند حالة الرنين. ماذا تصبح قيمة المعاوقة الكلية للدائرة؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
تصبح المعاوقة الكلية Z مساوية للمقاومة الأومية R فقط (أصغر قيمة ممكنة)؛ لأنه عند الرنين XL=XC، فيصبح الفرق (XL-XC) في صيغة Z=√(R²+(XL-XC)²) مساوياً للصفر، فتختزل الصيغة إلى Z=R.
5. دائرة RLC بها ملف حثه 0.4 هنري ومكثف سعته 25 ميكروفاراد. احسب تردد الرنين لهذه الدائرة. (π≈3.14)
عرض الإجابة
LC=0.4×25×10⁻⁶=10⁻⁵؛ f0=1/(2π√LC)=1/(2×3.14×3.162×10⁻³)≈50.35 هرتز تقريباً (≈50 هرتز).
6. دائرة RLC تحتوي على مقاومة 40 أوم، ومعاوقة حثية 90 أوم، ومعاوقة سعوية 60 أوم. احسب المعاوقة الكلية للدائرة.
عرض الإجابة
Z=√(40²+(90-60)²)=√(1600+900)=√2500=50 أوم.
7. لماذا تصل شدة التيار في دائرة RLC على التوالي إلى قيمتها العظمى الممكنة عند حالة الرنين، عند ثبات فرق الجهد المصدر؟
عرض الإجابة
لأن المعاوقة الكلية Z تصل إلى أصغر قيمة ممكنة لها عند الرنين (Z=R فقط)؛ وبما أن Irms=Vrms/Z، فإن أصغر قيمة لـZ (عند ثبات Vrms) تُنتج أكبر قيمة ممكنة للتيار.
8. دائرة RLC، إذا كانت XL=70 أوم وXC=20 أوم، وكانت المعاوقة الكلية 60.2 أوم تقريباً. احسب قيمة R تقريباً.
عرض الإجابة
R²=Z²-(XL-XC)²=60.2²-50²=3624.04-2500=1124.04؛ R=√1124.04≈33.5 أوم.
9. دائرة RLC بها ملف حثه 0.1 هنري ومكثف سعته 100 ميكروفاراد. احسب تردد الرنين لهذه الدائرة. (π≈3.14)
عرض الإجابة
LC=0.1×100×10⁻⁶=10⁻⁵؛ f0=1/(2π√LC)≈50.35 هرتز تقريباً (≈50 هرتز).
10. في دائرة RLC، إذا كانت XL أكبر من XC، فما طبيعة الدائرة (حثية أم سعوية الغالبة)؟ وماذا يعني هذا عن العلاقة بين طوري الجهد والتيار الكليين؟
عرض الإجابة
تكون الدائرة ذات طبيعة حثية غالبة؛ وهذا يعني أن الجهد الكلي في الدائرة يسبق التيار الكلي في الطور (بزاوية أقل من 90°، تعتمد على مقدار الفرق النسبي بين XL وXC مقارنة بـR).
11. دائرة RLC عند تردد معين، XL=45 أوم وXC=45 أوم بالضبط، ومقاومتها الأومية 20 أوم. احسب المعاوقة الكلية للدائرة، وفسّر لماذا هذا التردد هو تردد الرنين.
عرض الإجابة
عند XL=XC تكون Z=√(20²+0²)=20 أوم فقط؛ وهذا التردد هو تردد الرنين بالتحديد، لأنه التردد الوحيد الذي تتساوى عنده المعاوقتان تماماً، محققاً أصغر معاوقة كلية ممكنة.
12. دائرة RLC تحتوي على مقاومة 15 أوم، ومعاوقة حثية 25 أوم، ومعاوقة سعوية 13 أوم. احسب المعاوقة الكلية للدائرة.
عرض الإجابة
Z=√(15²+(25-13)²)=√(225+144)=√369≈19.2 أوم.