الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادراً على حساب مقاومة الموصل بدلالة طوله ومساحة مقطعه ومقاومته النوعية، وتفسير تأثير درجة الحرارة على المقاومة.
شرح الدرس
تعتمد مقاومة الموصل على: طوله L (تتناسب معه طردياً)، مساحة مقطعه A (تتناسب معها عكسياً)، ونوع المادة المصنوع منها (ممثلة في المقاومة النوعية ρ). العلاقة: R = ρL/A، حيث ρ خاصية مميزة لكل مادة عند درجة حرارة معينة (الوحدة: أوم.متر Ω.m).
تزداد المقاومة النوعية للموصلات المعدنية تقريباً بصورة خطية مع زيادة درجة الحرارة: ρ = ρ₀(1+αΔT)، حيث α معامل التغير الحراري للمقاومة النوعية. وبالتبعية، تزداد مقاومة الموصل المعدني نفسه مع زيادة درجة الحرارة تقريباً وفق: R = R₀(1+αΔT).
على عكس الموصلات المعدنية، تقل مقاومة أشباه الموصلات عادة مع ارتفاع درجة الحرارة، لأن ارتفاع الحرارة يزيد عدد حاملات الشحنة الحرة المتاحة فيها بشكل كبير.
أسئلة تدريبية
1. سلك طوله 4 م ومساحة مقطعه 2×10⁻⁶ م²، ومقاومته النوعية 1.6×10⁻⁸ أوم.متر. احسب مقاومة السلك.
عرض الإجابة
R = ρL/A = (1.6×10⁻⁸ × 4)/(2×10⁻⁶) = 0.032 أوم.
2. إذا تضاعف طول سلك موصل مع بقاء مساحة مقطعه والمادة المصنوع منها ثابتتين، ماذا يحدث لمقاومته؟
عرض الإجابة
تتضاعف المقاومة، لأن R تتناسب طردياً مع الطول L.
3. سلك مقاومته 8 أوم. إذا تم سحبه بحيث أصبح طوله ثلاثة أمثال طوله الأصلي مع بقاء حجمه ثابتاً (وبالتالي تتغير مساحة مقطعه)، احسب مقاومته الجديدة.
عرض الإجابة
عند ثبات الحجم: الطول الجديد = 3L فتصبح مساحة المقطع الجديدة = A/3؛ R_جديدة = ρ(3L)/(A/3) = 9×(ρL/A) = 9×8 = 72 أوم.
4. سلكان من نفس المادة، الأول طوله ضعف طول الثاني ومساحة مقطعه نصف مساحة مقطع الثاني. قارن بين مقاومتي السلكين.
عرض الإجابة
R₁/R₂ = (L₁/L₂)×(A₂/A₁) = 2×2 = 4؛ إذن مقاومة السلك الأول أربعة أمثال مقاومة السلك الثاني.
5. سلك نحاسي طوله 2 م ومساحة مقطعه 1×10⁻⁶ م² ومقاومته 0.034 أوم. احسب المقاومة النوعية للنحاس المستخدم.
عرض الإجابة
ρ = RA/L = (0.034×1×10⁻⁶)/2 = 1.7×10⁻⁸ أوم.متر.
6. مقاومة سلك عند درجة حرارة 20°م تساوي 10 أوم. إذا كان معامل التغير الحراري للمقاومة للمادة المصنوع منها السلك يساوي 0.004 /°م، احسب مقاومته عند درجة حرارة 70°م.
عرض الإجابة
ΔT = 70-20 = 50؛ R = R₀(1+αΔT) = 10×(1+0.004×50) = 10×1.2 = 12 أوم.
7. لماذا تُستخدم مادة مثل النيكروم (ذات مقاومة نوعية عالية نسبياً) في صناعة أسلاك التسخين الكهربية بدلاً من النحاس؟
عرض الإجابة
لأن المقاومة النوعية العالية تعني مقاومة أكبر لنفس الطول والمساحة، مما يولّد حرارة أكبر (P=I²R) عند مرور التيار، وهو المطلوب في عناصر التسخين؛ بينما النحاس ذو المقاومة النوعية المنخفضة جداً يُستخدم للتوصيل بأقل فقد ممكن للطاقة كحرارة.
8. سلكان من مادتين مختلفتين لهما نفس الطول ونفس مساحة المقطع، لكن مقاومة الأول أكبر من مقاومة الثاني. ماذا يُستنتج عن المقاومة النوعية لمادتي السلكين؟
عرض الإجابة
المقاومة النوعية لمادة السلك الأول أكبر من المقاومة النوعية لمادة السلك الثاني، لأن R تتناسب طردياً مع ρ عند ثبات L و A.
9. سلك مساحة مقطعه 4×10⁻⁷ م² وطوله 5 م ومصنوع من مادة مقاومتها النوعية 5×10⁻⁷ أوم.متر. احسب مقاومة هذا السلك.
عرض الإجابة
R = ρL/A = (5×10⁻⁷×5)/(4×10⁻⁷) = 6.25 أوم.
10. مقاومة سلك من التنجستن عند 20°م تساوي 5 أوم، ومعامل التغير الحراري له 0.0045/°م. عند أي درجة حرارة تصبح مقاومته 8 أوم؟
عرض الإجابة
من R=R₀(1+αΔT): 8=5(1+0.0045ΔT) ← 1.6=1+0.0045ΔT ← ΔT=0.6/0.0045≈133.3°م؛ درجة الحرارة النهائية ≈ 20+133.3 = 153.3°م.
11. أي العاملين التاليين له تأثير أكبر على مقاومة سلك: مضاعفة طوله، أم تنصيف مساحة مقطعه (مع بقاء العامل الآخر ثابتاً في كل حالة)؟ قارن كمياً.
عرض الإجابة
كلاهما يؤدي لنفس الأثر الكمي هنا: مضاعفة الطول تجعل المقاومة 2R، وتنصيف مساحة المقطع أيضاً يجعلها 2R (لأن R تتناسب عكسياً مع A)؛ إذن التأثيران متساويان في المقدار في هذه الحالة تحديداً.
12. لماذا تنخفض مقاومة معظم أشباه الموصلات (كالسيليكون) مع ارتفاع درجة الحرارة، على عكس الموصلات المعدنية التي تزداد مقاومتها؟
عرض الإجابة
لأن ارتفاع درجة الحرارة في أشباه الموصلات يزيد من عدد حاملات الشحنة الحرة المتاحة للتوصيل (إلكترونات وفجوات) بشكل كبير، فتقل المقاومة رغم زيادة الاهتزازات الذرية؛ بينما في الموصلات المعدنية يكون عدد حاملات الشحنة الحرة كبيراً وثابتاً أصلاً، فيهيمن تأثير زيادة الاهتزازات الذرية (المعيقة لحركة الإلكترونات) فتزداد المقاومة.