الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادراً على تفسير فرض بلانك للكم، وحساب طاقة الفوتون بدلالة تردده أو طول موجته.
شرح الدرس
فشلت الفيزياء الكلاسيكية تماماً في تفسير الشكل الفعلي لمنحنى توزيع طاقة إشعاع الجسم الأسود المثالي (جسم يمتص كل الإشعاع الساقط عليه). افترض ماكس بلانك أن طاقة الإشعاع لا تُصدَر أو تُمتص بصورة مستمرة، بل في صورة كمّات (حزم) منفصلة من الطاقة، كل كمّ منها: E = hf، حيث h ثابت بلانك (h = 6.63×10⁻³⁴ J.s)، وf تردد الإشعاع.
بما أن c = fλ (سرعة الضوء = التردد × طول الموجة)، يمكن كتابة طاقة الفوتون أيضاً بدلالة طول الموجة: E = hc/λ، حيث c = 3×10⁸ م/ث.
نجح فرض بلانك في تفسير منحنى إشعاع الجسم الأسود بدقة تامة، وكان بداية ميلاد ميكانيكا الكم.
أسئلة تدريبية
1. احسب طاقة فوتون تردده 5×10¹⁴ هرتز. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s)
عرض الإجابة
E=hf=6.63×10⁻³⁴×5×10¹⁴=3.315×10⁻¹⁹ جول.
2. فوتون طاقته 4×10⁻¹⁹ جول. احسب تردده. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s)
عرض الإجابة
f=E/h=4×10⁻¹⁹/6.63×10⁻³⁴≈6.03×10¹⁴ هرتز.
3. إذا تضاعف تردد فوتون معين، ماذا يحدث لطاقته؟
عرض الإجابة
تتضاعف طاقته؛ لأن E=hf تتناسب طردياً مع التردد f (h ثابت).
4. احسب طاقة فوتون طول موجته 500 نانومتر (500×10⁻⁹ م). (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، c=3×10⁸ m/s)
عرض الإجابة
E=hc/λ=(6.63×10⁻³⁴×3×10⁸)/(500×10⁻⁹)≈3.978×10⁻¹⁹ جول.
5. لماذا يُعد فرض بلانك (تكميم الطاقة) نقطة تحول جوهرية في الفيزياء، مقارنة بالفيزياء الكلاسيكية التي كانت تفترض أن الطاقة كمية مستمرة؟
عرض الإجابة
لأن الفيزياء الكلاسيكية فشلت تماماً في تفسير الشكل الفعلي لمنحنى إشعاع الجسم الأسود؛ بينما نجح افتراض بلانك بأن الطاقة تُصدَر وتُمتص في صورة كمّات منفصلة في تفسير هذا المنحنى بدقة تامة، مما فتح الباب أمام ميلاد ميكانيكا الكم كفرع جديد من الفيزياء.
6. احسب تردد فوتون طاقته 6×10⁻¹⁹ جول. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s)
عرض الإجابة
f=E/h=6×10⁻¹⁹/6.63×10⁻³⁴≈9.05×10¹⁴ هرتز.
7. مصدران ضوئيان، الأول يصدر فوتونات ترددها ضعف تردد فوتونات المصدر الثاني. قارن بين طاقتي الفوتونات الصادرة من المصدرين.
عرض الإجابة
طاقة فوتونات المصدر الأول تكون ضعف طاقة فوتونات المصدر الثاني؛ لأن E=hf تتناسب طردياً مع التردد.
8. احسب طاقة فوتون طول موجته 600 نانومتر بوحدة الإلكترون فولت (eV). (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، c=3×10⁸ m/s، 1eV=1.6×10⁻¹⁹ J)
عرض الإجابة
E=hc/λ=3.315×10⁻¹⁹ جول؛ بالإلكترون فولت: E=3.315×10⁻¹⁹/1.6×10⁻¹⁹≈2.07 eV.
9. ما العلاقة بين طول الموجة وطاقة الفوتون؟ فسّر إجابتك رياضياً باستخدام العلاقة E=hc/λ.
عرض الإجابة
تتناسب طاقة الفوتون عكسياً مع طول الموجة؛ فكلما زاد طول الموجة λ، قلّت طاقة الفوتون E، والعكس صحيح – فالفوتونات ذات الأطوال الموجية القصيرة (كالأشعة فوق البنفسجية) أعلى طاقة من ذات الأطوال الموجية الطويلة (كالأشعة تحت الحمراء).
10. احسب طول موجة فوتون طاقته 2×10⁻¹⁸ جول. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، c=3×10⁸ m/s)
عرض الإجابة
λ=hc/E=(6.63×10⁻³⁴×3×10⁸)/(2×10⁻¹⁸)≈9.945×10⁻⁸ م.
11. جسم أسود عند درجة حرارة مرتفعة يُصدر إشعاعاً في نطاق الأشعة فوق البنفسجية بشكل ملحوظ، بينما جسم أسود عند درجة حرارة منخفضة يُصدر أساساً في نطاق الأشعة تحت الحمراء. كيف يرتبط هذا بفرض بلانك؟
عرض الإجابة
كلما ارتفعت درجة الحرارة، يزداد احتمال إصدار كمّات ذات طاقة أعلى (تردد أعلى، طول موجة أقصر)؛ بينما عند درجات الحرارة المنخفضة، يغلب إصدار كمّات ذات طاقة أقل – وهذا يتسق مع أن طاقة كل كمّ مرتبطة مباشرة بتردده (E=hf).
12. احسب طاقة فوتون تردده 1×10¹⁵ هرتز، ثم حوّلها إلى وحدة الإلكترون فولت. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، 1eV=1.6×10⁻¹⁹ J)
عرض الإجابة
E=hf=6.63×10⁻¹⁹ جول؛ بالإلكترون فولت: E≈4.14 eV.