الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادراً على تطبيق قانون دوان-هنت لحساب أقل طول موجي في الطيف المستمر للأشعة السينية، وتفسير سبب وجود هذا الحد.
شرح الدرس
تُنتَج الأشعة السينية بتسارع إلكترونات بفرق جهد V ثم اصطدامها بهدف معدني. ينتج طيف مستمر عن تباطؤ الإلكترونات تدريجياً وفقدانها طاقة متفاوتة كفوتونات، بينما ينتج طيف مميز عن انتقالات إلكترونية محددة داخل ذرات الهدف نفسها (خطوط حادة تعتمد على نوع المعدن).
يوجد حد أدنى محدد لطول موجة الطيف المستمر (قانون دوان-هنت): λmin = hc/(eV). ينتج هذا الحد عندما يفقد الإلكترون كل طاقته الحركية (eV) دفعة واحدة، محولاً إياها بالكامل إلى فوتون واحد – وهذا يمثل أقصى طاقة ممكنة للفوتون، وبالتالي أقل طول موجي ممكن.
لا يمكن لأي فوتون أن يحمل طاقة أكبر من eV، لأن الإلكترون المسارع لا يملك أصلاً طاقة حركية أكبر من هذه القيمة.
أسئلة تدريبية
1. أنبوب أشعة سينية يعمل بفرق جهد تسارع مقداره 20000 فولت. احسب أقل طول موجي ممكن للأشعة السينية المنتجة. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، c=3×10⁸ m/s، e=1.6×10⁻¹⁹ C)
عرض الإجابة
λmin=hc/(eV)=(6.63×10⁻³⁴×3×10⁸)/(1.6×10⁻¹⁹×20000)≈6.22×10⁻¹¹ م.
2. إذا تضاعف فرق جهد التسارع في أنبوب أشعة سينية، ماذا يحدث لأقل طول موجي ممكن (λmin) للأشعة الناتجة؟
عرض الإجابة
يصبح نصف قيمته الأصلية؛ لأن λmin=hc/(eV) تتناسب عكسياً مع فرق الجهد V.
3. أنبوب أشعة سينية أنتج أشعة أقل طول موجي لها 3×10⁻¹¹ م. احسب فرق جهد التسارع المستخدم. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، c=3×10⁸ m/s، e=1.6×10⁻¹⁹ C)
عرض الإجابة
V=hc/(eλmin)≈41437.5 فولت ≈ 41.4 كيلوفولت تقريباً.
4. لماذا يوجد حد أدنى محدد لطول الموجة (λmin) في الطيف المستمر للأشعة السينية، بدلاً من أن يكون الطول الموجي قابلاً للانخفاض إلى ما لا نهاية؟
عرض الإجابة
لأن أقصى طاقة ممكنة لفوتون الأشعة السينية تتحدد بأقصى طاقة حركية يكتسبها الإلكترون (KE=eV)؛ فعندما يفقد الإلكترون كل طاقته دفعة واحدة عند الاصطدام، ينتج أقصى طاقة ممكنة للفوتون، وبالتالي أقل طول موجي ممكن؛ ولا يمكن لأي فوتون أن يحمل طاقة أكبر من هذا الحد لأن الإلكترون لا يملك أصلاً طاقة أكبر منها.
5. أنبوب أشعة سينية يعمل بفرق جهد تسارع مقداره 30000 فولت. احسب أقل طول موجي ممكن للأشعة الناتجة. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، c=3×10⁸ m/s، e=1.6×10⁻¹⁹ C)
عرض الإجابة
λmin=hc/(eV)≈4.14×10⁻¹¹ م.
6. ما الفرق الأساسي بين الطيف المستمر والطيف المميز للأشعة السينية من حيث آلية إنتاج كل منهما؟
عرض الإجابة
ينتج الطيف المستمر عن تباطؤ الإلكترونات المسارعة عند اصطدامها بذرات الهدف وفقدانها طاقة متفاوتة كفوتونات (طيف مستمر له حد أدنى λmin)؛ بينما ينتج الطيف المميز عن انتقالات إلكترونية محددة داخل ذرات الهدف نفسها، منتجاً خطوطاً طيفية حادة ومحددة القيمة تعتمد على نوع ذرة الهدف.
7. أنبوب أشعة سينية أنتج أشعة أقل طول موجي لها 5×10⁻¹¹ م. احسب فرق جهد التسارع المستخدم تقريباً. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، c=3×10⁸ m/s، e=1.6×10⁻¹⁹ C)
عرض الإجابة
V=hc/(eλmin)≈24862.5 فولت ≈ 24.9 كيلوفولت تقريباً.
8. احسب أقصى طاقة ممكنة (بوحدة الإلكترون فولت) لفوتون أشعة سينية ناتج من أنبوب يعمل بفرق جهد تسارع 15000 فولت.
عرض الإجابة
أقصى طاقة ممكنة = eV = 15000 إلكترون فولت = 15 كيلو إلكترون فولت (لأن كل الطاقة الحركية للإلكترون تتحول لفوتون واحد).
9. لماذا يُستخدم فرق جهد تسارع عالٍ جداً (آلاف الفولتات) في أنابيب الأشعة السينية، بدلاً من فرق جهد منخفض؟
عرض الإجابة
لأن إنتاج فوتونات أشعة سينية (عالية الطاقة قصيرة الطول الموجي) يتطلب أن يكتسب الإلكترون طاقة حركية عالية جداً قبل الاصطدام؛ وبما أن KE=eV، فالحصول على طاقة كافية يستلزم فرق جهد تسارع عالٍ جداً.
10. أنبوب أشعة سينية يعمل بفرق جهد تسارع 25000 فولت. احسب أقل طول موجي ممكن للأشعة الناتجة. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، c=3×10⁸ m/s، e=1.6×10⁻¹⁹ C)
عرض الإجابة
λmin=hc/(eV)≈4.97×10⁻¹¹ م.
11. إذا انخفض فرق جهد التسارع في أنبوب أشعة سينية إلى الثلث، ماذا يحدث لأقل طول موجي ممكن للأشعة الناتجة؟
عرض الإجابة
يصبح ثلاثة أمثال قيمته الأصلية (يزداد)؛ لأن λmin تتناسب عكسياً مع V.
12. أنبوب أشعة سينية أُريد تصميمه لإنتاج أشعة أقل طول موجي لها 2×10⁻¹¹ م بالضبط. احسب فرق جهد التسارع المطلوب. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، c=3×10⁸ m/s، e=1.6×10⁻¹⁹ C)
عرض الإجابة
V=hc/(eλmin)≈62156.25 فولت ≈ 62.16 كيلوفولت تقريباً.