الهدف
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادراً على حساب إزاحة كومتون في طول موجة الأشعة السينية المتشتتة، وحساب الطول الموجي لجسيم مادي وفق فرض دي برولي.
شرح الدرس
يُظهر تأثير كومتون (تشتت أشعة سينية عن إلكترون حر) أن طول موجة الفوتون المتشتت يزداد بمقدار: Δλ = (h/mc)(1-cosθ)، حيث θ زاوية التشتت، وm كتلة الإلكترون. هذا التغير في طول الموجة دليل تجريبي قوي (إلى جانب التأثير الكهروضوئي) على أن للفوتون زخماً محدداً يتبادله مع الإلكترون كجسيم حقيقي، وليس فقط خصائص موجية.
عمّم دي برولي فكرة الازدواجية موجة-جسيم لتشمل الجسيمات المادية أيضاً: لكل جسيم متحرك كتلته m وسرعته v طول موجي مرافق: λ = h/(mv) (يُعرف بطول موجة دي برولي).
بسبب صغر قيمة ثابت بلانك h، يكون الطول الموجي المقابل للأجسام الكبيرة (كالكرة أو السيارة) صغيراً جداً بشكل غير قابل للملاحظة عملياً، بينما يصبح ملحوظاً وقابلاً للقياس للجسيمات دون الذرية الخفيفة (كالإلكترون).
أسئلة تدريبية
1. سقطت أشعة سينية على إلكترون حر، وتشتت الفوتون بزاوية 90° عن اتجاهه الأصلي. احسب إزاحة كومتون لهذا الفوتون. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، m=9.1×10⁻³¹ kg، c=3×10⁸ m/s، cos90°=0)
عرض الإجابة
Δλ=(h/mc)(1-cosθ)=(2.429×10⁻¹²)(1-0)≈2.429×10⁻¹² م.
2. في تأثير كومتون، إذا كانت زاوية التشتت 0° (لم يتشتت الفوتون فعلياً)، ماذا يكون التغير في طول الموجة؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
يكون التغير صفراً؛ لأن عند θ=0° فإن cos0°=1، فيصبح (1-cosθ)=0، وبالتالي Δλ=0 – وهذا منطقي لأنه بدون تشتت فعلي، لا يوجد تفاعل يُغيّر طول الموجة.
3. احسب الطول الموجي لإلكترون كتلته 9.1×10⁻³¹ كجم يتحرك بسرعة 2×10⁶ م/ث، وفق فرض دي برولي. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s)
عرض الإجابة
λ=h/(mv)=6.63×10⁻³⁴/(9.1×10⁻³¹×2×10⁶)≈3.643×10⁻¹⁰ م.
4. جسيم كتلته 2×10⁻²⁷ كجم يتحرك بسرعة 5×10⁵ م/ث. احسب طوله الموجي وفق دي برولي. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s)
عرض الإجابة
λ=h/(mv)=6.63×10⁻³⁴/(2×10⁻²⁷×5×10⁵)=6.63×10⁻¹³ م.
5. إذا تضاعفت سرعة إلكترون متحرك، ماذا يحدث لطوله الموجي وفق دي برولي؟
عرض الإجابة
يصبح نصف قيمته الأصلية؛ لأن λ=h/(mv) تتناسب عكسياً مع السرعة v عند ثبات الكتلة m.
6. لماذا يُعد تأثير كومتون دليلاً تجريبياً قوياً على الطبيعة الجسيمية للضوء، بالإضافة إلى التأثير الكهروضوئي؟
عرض الإجابة
لأن تفسيره يتطلب معاملة الفوتون كجسيم له زخم محدد (p=h/λ)، يصطدم بالإلكترون ويتبادل معه طاقة وزخماً وفق قوانين الحفظ الكلاسيكية بين جسيمين، تماماً كتصادم كرات البلياردو؛ وهذا لا يمكن تفسيره بالنموذج الموجي البحت للضوء.
7. احسب طول موجة دي برولي لجسيم كتلته 1×10⁻²⁶ كجم ويتحرك بسرعة 3×10⁴ م/ث. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s)
عرض الإجابة
λ=h/(mv)=6.63×10⁻³⁴/(1×10⁻²⁶×3×10⁴)=2.21×10⁻¹² م.
8. جسيمان مختلفان في الكتلة يتحركان بنفس السرعة، وكانت كتلة الجسيم الأول ضعف كتلة الجسيم الثاني. قارن بين طوليهما الموجيين وفق دي برولي.
عرض الإجابة
λ تتناسب عكسياً مع الكتلة m عند ثبات السرعة؛ فطول موجة الجسيم الأول (الأكبر كتلة) يكون نصف طول موجة الجسيم الثاني.
9. لماذا لا نلاحظ عملياً الخصائص الموجية للأجسام الكبيرة في حياتنا اليومية، رغم أن فرض دي برولي ينطبق نظرياً على كل الأجسام المتحركة؟
عرض الإجابة
لأن λ=h/mv يتناسب عكسياً مع كتلة الجسم؛ وبما أن h صغير جداً، فإن الأجسام الكبيرة (ذات الكتلة الكبيرة جداً مقارنة بالجسيمات دون الذرية) يكون طولها الموجي المقابل صغيراً جداً بشكل غير قابل للقياس، على عكس الجسيمات الخفيفة كالإلكترون حيث يصبح الطول الموجي ملحوظاً وقابلاً للقياس تجريبياً.
10. سقطت أشعة سينية على إلكترون حر، وتشتت الفوتون بزاوية 180° (ارتد للخلف تماماً). احسب أقصى تغير ممكن في طول الموجة عند هذه الزاوية. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s، m=9.1×10⁻³¹ kg، c=3×10⁸ m/s، cos180°=-1)
عرض الإجابة
Δλ=(2.429×10⁻¹²)(1-(-1))=(2.429×10⁻¹²)(2)≈4.858×10⁻¹² م.
11. إلكترون طوله الموجي (وفق دي برولي) يساوي 2×10⁻¹⁰ م، وكتلته 9.1×10⁻³¹ كجم. احسب سرعته. (h=6.63×10⁻³⁴ J.s)
عرض الإجابة
v=h/(mλ)=6.63×10⁻³⁴/(9.1×10⁻³¹×2×10⁻¹⁰)≈3.643×10⁶ م/ث.
12. ما وجه التكافؤ بين “طاقة الفوتون” و”زخم الفوتون”، وكيف يرتبط هذا بفرض دي برولي؟
عرض الإجابة
زخم الفوتون يُعطى بالعلاقة p=h/λ؛ وقد عمّم دي برولي هذه العلاقة (بشكل معكوس) لتنطبق على أي جسيم مادي له زخم p=mv، مفترضاً أن له طولاً موجياً مقابلاً λ=h/p=h/(mv)، أي أن كل جسيم مادي متحرك له خصائص موجية مرتبطة به، تماماً كما أن للفوتون خصائص جسيمية.