الأحداث المستقلة
المفاهيم الأساسية
- يستقل حدثان إذا لم يغير وقوع أحدهما احتمال الآخر.
- للأحداث المستقلة يساوي احتمال التقاطع حاصل ضرب الاحتمالين.
- التنافي لا يعني الاستقلال إلا في حالات احتمالية خاصة.
القوانين
P(A∩B)=P(A)P(B)الاستقلال يكافئ P(A|B)=P(A) عندما P(B)>0
مثال محلول
نقرأ المطلوب، ونحدد البيانات والرموز، ثم نختار القانون المناسب ونعوض بالقيم مع الحفاظ على ترتيب العمليات. بعد الوصول إلى الرقم نفسره في سياق المسألة؛ فالقيمة الإحصائية بلا تفسير لا تكمل الحل.
نموذج من الدرس: إذا P(A)=0.4 وP(B)=0.5 مستقلان، أوجد P(A∩B).
الحل: 0.2.
أخطاء شائعة
- التعويض قبل تحديد المطلوب.
- نسيان المتمم أو التقاطع أو تربيع المتوسط في القانون المناسب.
- تقريب الأعداد في خطوة مبكرة فتتغير الإجابة النهائية.
- كتابة رقم صحيح دون تفسير إحصائي.
Practice Questions
1. إذا P(A)=0.4 وP(B)=0.5 مستقلان، أوجد P(A∩B).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.2.
2. قطعة نقود ونرد: احتمال صورة وعدد 6؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 1/2×1/6=1/12.
3. إذا P(A∩B)=0.18 وP(A)=0.3 وP(B)=0.6، هل مستقلان؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: نعم لأن 0.3×0.6=0.18.
4. إذا P(A∩B)=0.1 وP(A)=0.5 وP(B)=0.4، هل مستقلان؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: لا لأن حاصل الضرب=0.2.
5. حدثان متنافيان واحتمال كل منهما موجب؛ هل مستقلان؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: لا لأن التقاطع صفر لا يساوي حاصل الضرب الموجب.
6. ثلاث رميات عملة؛ احتمال ثلاث صور؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: (1/2)^3=1/8.
7. نجاح تجربة 0.8 مرتين باستقلال؛ احتمال النجاح مرتين؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.64.
8. احتمال فشل مرة على الأقل في تجربتين مستقلتين نجاح كل منهما 0.9.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 1-0.9²=0.19.
9. إذا A وB مستقلان، P(A)=0.7، فأوجد P(A|B).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.7.
10. اختيار كرة مع الإرجاع مرتين من 3 حمراء و2 زرقاء؛ احتمال حمراء ثم زرقاء.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 3/5×2/5=6/25.
11. دون إرجاع، هل السحبتان مستقلتان؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: لا، لأن السحب الأول يغير تركيب الكيس.
12. إذا P(A)=0.2 وP(B)=0.3 مستقلان، أوجد P(A∪B).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.2+0.3-0.06=0.44.